Упр.30.9 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- Дана функция $$y=f(x)$$, где
$$f(x)=\begin{cases}-x^2+2, & \text{если } -2\le x<1;\\ x, & \text{если } 1\le x\le 5.\end{cases}$$
а) Найдите $$f(-2),\ f(-1{,}5),\ f(1),\ f(4),\ f(5),\ f(\sqrt{34}).$$
б) Постройте график функции $$y=f(x).$$
в) По графику функции определите, при каких значениях $$x$$ $$f(x)=2,\ f(x)=1,\ f(x)=-2.$$
г) Перечислите свойства функции. - Дана функция $$y=f(x),$$ где $$f(x)=\frac{5}{x}.$$
Найдите:
а) $$f(-5),\ f(-1),\ f\left(\frac{1}{2}\right);$$
г) $$f(1),\ f(5),\ f\left(2\frac{1}{2}\right);$$
б) $$f(a),\ f(-a),\ f(2a);$$
д) $$f(2b),\ f(-2b),\ f(0{,}5b);$$
в) $$f(x^2),\ \frac{1}{2}f(x^3)+1,\ f\left(\frac{1}{x}\right);$$
е) $$f(x^3),\ \frac{1}{3}f(x^2+1),\ f\left(\frac{1}{x^2}\right).$$
Дана функция
$$f(x)= \begin{cases} -x^2+2, & -2\le x<1,\\ x, & 1\le x\le 5. \end{cases}$$
Найдём значения функции:
$$f(-2)=-(-2)^2+2=-4+2=-2,$$
$$f(-1{,}5)=-(-1{,}5)^2+2=-2{,}25+2=-0{,}25,$$
$$f(1)=1,$$
$$f(4)=4,$$
$$f(5)=5.$$Так как $$\sqrt{34}>5,$$ то $$f(\sqrt{34})$$ не существует.
График функции состоит из двух частей:
на отрезке $$[-2;1)$$ — часть параболы $$y=-x^2+2$$;
на отрезке $$[1;5]$$ — отрезок прямой $$y=x$$.
По графику получаем:
$$f(x)=2 \text{ при } x=0 \text{ и } x=2,$$
$$f(x)=1 \text{ при } x=-1 \text{ и } x=1,$$
$$f(x)=-2 \text{ при } x=-2.$$Свойства функции:
- область определения: $$[-2;5]$$;
- область значений: $$[-2;5]$$;
- функция непрерывна;
- убывает на $$[0;1]$$;
- возрастает на $$[-2;0]$$ и $$[1;5]$$;
- наибольшее значение: $$5$$;
- наименьшее значение: $$-2$$;
- функция ограничена сверху и снизу.
Для функции $$f(x)=\dfrac{5}{x}$$:
$$f(-5)=\frac{5}{-5}=-1,$$
$$f(-1)=\frac{5}{-1}=-5,$$
$$f\!\left(\frac12\right)=\frac{5}{1/2}=10,$$
$$f(a)=\frac{5}{a},\quad f(-a)=-\frac{5}{a},\quad f(2a)=\frac{5}{2a},$$
$$f(x^2)=\frac{5}{x^2},\quad \frac12 f(x^3)+1=\frac{5}{2x^3}+1,\quad f\!\left(\frac1x\right)=5x,$$
$$f(1)=5,\quad f(5)=1,\quad f\!\left(2\frac12\right)=2,$$
$$f(2b)=\frac{5}{2b},\quad f(-2b)=-\frac{5}{2b},\quad f(0{,}5b)=\frac{10}{b},$$
$$f(x^3)=\frac{5}{x^3},\quad \frac13 f(x^2+1)=\frac{5}{3(x^2+1)},\quad f\!\left(\frac1{x^2}\right)=5x^2.$$
Ответ
а) $$f(-2)=-2,\ f(-1{,}5)=-0{,}25,\ f(1)=1,\ f(4)=4,\ f(5)=5,\ f(\sqrt{34})$$ не существует.
б) График состоит из части параболы $$y=-x^2+2$$ при $$-2\le x<1$$ и отрезка прямой $$y=x$$ при $$1\le x\le 5$$.
в) $$f(x)=2$$ при $$x=0,2$$; $$f(x)=1$$ при $$x=-1,1$$; $$f(x)=-2$$ при $$x=-2$$.
г) $$D(f)=[-2;5],\ E(f)=[-2;5]$$; функция непрерывна, ограничена сверху и снизу, возрастает на $$[-2;0]$$ и $$[1;5]$$, убывает на $$[0;1]$$, $$y_{\max}=5$$, $$y_{\min}=-2$$.
Для $$f(x)=\dfrac{5}{x}$$:
а) $$-1,\ -5,\ 10$$;
б) $$\dfrac{5}{a},\ -\dfrac{5}{a},\ \dfrac{5}{2a}$$;
в) $$\dfrac{5}{x^2},\ \dfrac{5}{2x^3}+1,\ 5x$$;
г) $$5,\ 1,\ 2$$;
д) $$\dfrac{5}{2b},\ -\dfrac{5}{2b},\ \dfrac{10}{b}$$;
е) $$\dfrac{5}{x^3},\ \dfrac{5}{3(x^2+1)},\ 5x^2$$.
