Упр.30.9 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) Найдите f(-2), f(-1,5), f(1), f(4), f(5), f(v34).
б) Постройте график функции у = f(x).
в) По графику функции определите, при каких значениях х f(x) = 2, f(x) = 1, f(x) = -2.
г) Перечислите свойства функции. Дана функция у = f(x), где f(x) = 5/x. Найдите:
а) f(-5), f(-1), f(1/2); г) f(1), f(5), f(2 1/2);
б) f(a), f(-a), f(2a); д) f(2b), f(-2b), f(0,5b);
в) f(x^2), 1/2 f(x^3) + 1, f(1/x); е) f(x^3), 1/3 f(x^2 + 1), f(1/x^2).

Дана функция

$$ f(x)= \begin{cases} -x^2+2, & -2\le x<1,\\ x, & 1\le x\le 5. \end{cases} $$

1. Найдём значения функции:

   $$f(-2)=-(-2)^2+2=-4+2=-2,$$
   $$f(-1{,}5)=-(-1{,}5)^2+2=-2{,}25+2=-0{,}25,$$
   $$f(1)=1,$$
   $$f(4)=4,$$
   $$f(5)=5.$$

   Так как $$\sqrt{34}>5,$$ то $$f(\sqrt{34})$$ не существует.

2. График функции состоит из двух частей:

   на отрезке $$[-2;1)$$ — часть параболы $$y=-x^2+2$$;

   на отрезке $$[1;5]$$ — отрезок прямой $$y=x$$.

3. По графику получаем:

   $$f(x)=2 \text{ при } x=0 \text{ и } x=2,$$
   $$f(x)=1 \text{ при } x=-1 \text{ и } x=1,$$
   $$f(x)=-2 \text{ при } x=-2.$$

4. Свойства функции:

   • область определения: $$[-2;5]$$;
   • область значений: $$[-2;5]$$;
   • функция непрерывна;
   • убывает на $$[0;1]$$;
   • возрастает на $$[-2;0]$$ и $$[1;5]$$;
   • наибольшее значение: $$5$$;
   • наименьшее значение: $$-2$$;
   • функция ограничена сверху и снизу.

Для функции $$f(x)=\dfrac{5}{x}$$:

$$f(-5)=\frac{5}{-5}=-1,$$
$$f(-1)=\frac{5}{-1}=-5,$$
$$f\!\left(\frac12\right)=\frac{5}{1/2}=10,$$
$$f(a)=\frac{5}{a},\quad f(-a)=-\frac{5}{a},\quad f(2a)=\frac{5}{2a},$$
$$f(x^2)=\frac{5}{x^2},\quad \frac12 f(x^3)+1=\frac{5}{2x^3}+1,\quad f\!\left(\frac1x\right)=5x,$$
$$f(1)=5,\quad f(5)=1,\quad f\!\left(2\frac12\right)=2,$$
$$f(2b)=\frac{5}{2b},\quad f(-2b)=-\frac{5}{2b},\quad f(0{,}5b)=\frac{10}{b},$$
$$f(x^3)=\frac{5}{x^3},\quad \frac13 f(x^2+1)=\frac{5}{3(x^2+1)},\quad f\!\left(\frac1{x^2}\right)=5x^2.$$

Ответ

а) $$f(-2)=-2,\ f(-1{,}5)=-0{,}25,\ f(1)=1,\ f(4)=4,\ f(5)=5,\ f(\sqrt{34})$$ не существует.
б) График состоит из части параболы $$y=-x^2+2$$ при $$-2\le x<1$$ и отрезка прямой $$y=x$$ при $$1\le x\le 5$$.
в) $$f(x)=2$$ при $$x=0,2$$; $$f(x)=1$$ при $$x=-1,1$$; $$f(x)=-2$$ при $$x=-2$$.
г) $$D(f)=[-2;5],\ E(f)=[-2;5]$$; функция непрерывна, ограничена сверху и снизу, возрастает на $$[-2;0]$$ и $$[1;5]$$, убывает на $$[0;1]$$, $$y_{\max}=5$$, $$y_{\min}=-2$$.

Для $$f(x)=\dfrac{5}{x}$$:
а) $$-1,\ -5,\ 10$$;
б) $$\dfrac{5}{a},\ -\dfrac{5}{a},\ \dfrac{5}{2a}$$;
в) $$\dfrac{5}{x^2},\ \dfrac{5}{2x^3}+1,\ 5x$$;
г) $$5,\ 1,\ 2$$;
д) $$\dfrac{5}{2b},\ -\dfrac{5}{2b},\ \dfrac{10}{b}$$;
е) $$\dfrac{5}{x^3},\ \dfrac{5}{3(x^2+1)},\ 5x^2$$.