Упр.30.8 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
а) у = х^2 + 4 на отрезке [—1; 2];
б) у = vх — 2 на отрезке [1; 4];
в) у = —|x| + 2 на полуинтервале [—3; 2);
г) у = —х^2 — 1 на интервале (—3; 1);
д) у = —vх + 1 на отрезке [1; 9];
е) у = |x| — 4 на луче [-1; +?).
Найдите координаты точек пересечения графиков функций:
а) y = 2/x и y = x — 1; г) y = (x — 1)^2 и y = 2/x;
б) y = 3/x и y = x^2 + 2; д) y = 3/x и y = -|x — 1| + 3;
в) y = 4/x и y = |x + 1| — 4; е) y = 4/x и y = 2x — 2.
а) $$y=x^2+4$$ — парабола, ветви направлены вверх. Вершина $$ (0;4) $$, значит на отрезке $$[-1;2]$$ наименьшее значение достигается в вершине:
$$y_{\min}=4.$$
Проверим конец отрезка $$x=2$$:
$$y(2)=2^2+4=8.$$
Следовательно, $$y_{\max}=8.$$
б) $$y=\sqrt{x}-2$$. Функция возрастает при $$x\ge 0$$, поэтому на отрезке $$[1;4]$$:
$$y_{\min}=y(1)=\sqrt{1}-2=-1,$$
$$y_{\max}=y(4)=\sqrt{4}-2=0.$$
в) $$y=-|x|+2$$. Функция убывает по модулю от точки $$x=0$$, вершина $$ (0;2) $$.
На полуинтервале $$[-3;2)$$:
$$y_{\min}=y(-3)=-|-3|+2=-1,$$
$$y_{\max}=2.$$
г) $$y=-x^2-1$$ — парабола, ветви направлены вниз. Вершина $$ (0;-1) $$.
На интервале $$(-3;1)$$ наибольшее значение равно
$$y_{\max}=-1.$$
Наименьшее значение не существует, так как при приближении к концам интервала значение функции уменьшается, но точки $$x=-3$$ и $$x=1$$ не входят в область рассмотрения.
д) $$y=-\sqrt{x}+1$$. Функция убывает при $$x\ge 0$$, поэтому на отрезке $$[1;9]$$:
$$y_{\min}=y(9)=-\sqrt{9}+1=-2,$$
$$y_{\max}=y(1)=-\sqrt{1}+1=0.$$
е) $$y=|x|-4$$. На луче $$[-1;+\infty)$$ наименьшее значение достигается при $$x=0$$:
$$y_{\min}=-4.$$
Наибольшего значения нет, так как при росте $$x$$ функция неограниченно возрастает.
а) Найдём точки пересечения графиков $$y=\frac{2}{x}$$ и $$y=x-1$$:
$$\frac{2}{x}=x-1,$$
$$2=x(x-1),$$
$$x^2-x-2=0,$$
$$ (x-2)(x+1)=0,$$
$$x=2 \text{ или } x=-1.$$
Тогда
$$x=2 \Rightarrow y=1,$$
$$x=-1 \Rightarrow y=-2.$$
Точки пересечения: $$(-1;-2)$$ и $$ (2;1) $$.
б) $$\frac{3}{x}=x^2+2$$:
$$3=x(x^2+2),$$
$$x^3+2x-3=0.$$
Подбором получаем $$x=1$$:
$$1+2-3=0.$$
Тогда $$y=3.$$
Точка пересечения: $$ (1;3) $$.
в) $$\frac{4}{x}=|x+1|-4.$$
Проверим подходящие значения. При $$x=-4$$:
$$\frac{4}{-4}=-1,\qquad |-4+1|-4=3-4=-1.$$
При $$x=-1$$:
$$\frac{4}{-1}=-4,\qquad |-1+1|-4=0-4=-4.$$
При $$x=4$$:
$$\frac{4}{4}=1,\qquad |4+1|-4=5-4=1.$$
Точки пересечения: $$(-4;-1)$$, $$(-1;-4)$$ и $$ (4;1) $$.
г) $$ (x-1)^2=\frac{2}{x} $$:
$$x(x-1)^2=2,$$
$$x^3-2x^2+x-2=0.$$
Подбором получаем $$x=2$$:
$$8-8+2-2=0.$$
Тогда $$y=1.$$
Точка пересечения: $$ (2;1) $$.
д) $$\frac{3}{x}=-|x-1|+3.$$
Проверим значения:
при $$x=-3$$:
$$\frac{3}{-3}=-1,\qquad -|-3-1|+3=-4+3=-1;$$
при $$x=1$$:
$$\frac{3}{1}=3,\qquad -|1-1|+3=3;$$
при $$x=3$$:
$$\frac{3}{3}=1,\qquad -|3-1|+3=-2+3=1.$$
Точки пересечения: $$(-3;-1)$$, $$ (1;3) $$ и $$ (3;1) $$.
е) $$\frac{4}{x}=2x-2$$:
$$4=x(2x-2),$$
$$2x^2-2x-4=0,$$
$$x^2-x-2=0,$$
$$ (x-2)(x+1)=0,$$
$$x=2 \text{ или } x=-1.$$
Тогда
$$x=2 \Rightarrow y=2,$$
$$x=-1 \Rightarrow y=-4.$$
Точки пересечения: $$(-1;-4)$$ и $$ (2;2) $$.
Ответ
а) $$4$$ и $$8$$; б) $$-1$$ и $$0$$; в) $$-1$$ и $$2$$; г) $$y_{\max}=-1$$, $$y_{\min}$$ не существует; д) $$-2$$ и $$0$$; е) $$-4$$, наибольшего значения нет.
Точки пересечения: а) $$(-1;-2)$$, $$ (2;1) $$; б) $$ (1;3) $$; в) $$(-4;-1)$$, $$(-1;-4)$$, $$ (4;1) $$; г) $$ (2;1) $$; д) $$(-3;-1)$$, $$ (1;3) $$, $$ (3;1) $$; е) $$(-1;-4)$$, $$ (2;2) $$.
