Упр.30.7 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2025 года. Даны функции $$y=f(x)$$ и $$y=g(x)$$, где $$f(x)=x^2-2$$, $$g(x)=-|x|+4$$. Постройте графики функций $$y=f(x)$$ и $$y=g(x)$$ и решите неравенство $$f(x)
2. Задание учебника 2019 года. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=\frac{4}{x}$$ на заданном промежутке: а) $$[-4;-1]$$; в) $$(1;8)$$; д) $$(-\infty;-2]$$; б) $$[4;+\infty)$$; г) $$[2;4]$$; е) $$(-8;-0{,}5)$$.

Построим графики функций:

$$f(x)=x^2-2$$

Это парабола, полученная из графика $$y=x^2$$ сдвигом вниз на 2 единицы.

$$g(x)=-|x|+4$$

Это график функции $$y=-|x|$$, сдвинутый вверх на 4 единицы.

Найдём точки пересечения графиков, решив уравнение:

$$x^2-2=-|x|+4$$

$$x^2+|x|-6=0$$

Рассмотрим случаи.

1) Если $$x \ge 0$$, то $$|x|=x$$, и получаем:

$$x^2+x-6=0$$

$$(x+3)(x-2)=0$$

$$x=2$$

2) Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$, и получаем:

$$x^2-x-6=0$$

$$(x-3)(x+2)=0$$

$$x=-2$$

Значит, графики пересекаются в точках $$(-2;2)$$ и $$(2;2)$$.

Теперь решим неравенство:

$$f(x)<g(x)$$

По графику видно, что это выполняется между точками пересечения:

$$-2<x<2$$

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $$y=\frac{4}{x}$$ на заданных промежутках.

Так как на каждом из указанных промежутков функция $$y=\frac{4}{x}$$ монотонна, достаточно сравнить значения на концах промежутка.

а) $$[-4;-1]$$

$$y(-4)=\frac{4}{-4}=-1,\qquad y(-1)=\frac{4}{-1}=-4$$

$$y_{\max}=-1,\qquad y_{\min}=-4$$

б) $$[4;+\infty)$$

$$y(4)=\frac{4}{4}=1$$

При $$x\to +\infty$$ имеем $$y\to 0$$, но значение $$0$$ не достигается.

$$y_{\max}=1,\qquad y_{\min}$$ не существует.

в) $$(1;8)$$

На этом промежутке функция убывает, но концы не входят в промежуток.

$$y_{\max}$$ не существует, $$y_{\min}$$ не существует.

г) $$[2;4]$$

$$y(2)=\frac{4}{2}=2,\qquad y(4)=\frac{4}{4}=1$$

$$y_{\max}=2,\qquad y_{\min}=1$$

д) $$(-\infty;-2]$$

$$y(-2)=\frac{4}{-2}=-2$$

При $$x\to -\infty$$ имеем $$y\to 0$$, но значение $$0$$ не достигается.

$$y_{\max}$$ не существует, $$y_{\min}=-2$$

е) $$(-8;-0{,}5)$$

Концы промежутка не входят, поэтому наибольшее и наименьшее значения не достигаются.

$$y_{\max}$$ не существует, $$y_{\min}$$ не существует.

Ответ

$$f(x)<g(x) \text{ при } -2<x<2.$$

Для функции $$y=\frac{4}{x}$$:

а) $$y_{\max}=-1,\ y_{\min}=-4$$;

б) $$y_{\max}=1,\ y_{\min}$$ не существует;

в) $$y_{\max}$$ не существует, $$y_{\min}$$ не существует;

г) $$y_{\max}=2,\ y_{\min}=1$$;

д) $$y_{\max}$$ не существует, $$y_{\min}=-2$$;

е) $$y_{\max}$$ не существует, $$y_{\min}$$ не существует.