Упр.30.5 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- Запишите уравнение параболы $$y=ax^2+m$$, график которой изображён на указанном рисунке: а) рис. 75; б) рис. 76; в) рис. 77; г) рис. 78; д) рис. 79; е) рис. 80.
- Постройте график функции $$y=\frac{4}{x}$$. С помощью графика найдите: а) значения функции при $$x=-1$$, $$x=-2$$, $$x=4$$; б) значения аргумента, которым соответствуют $$y=4$$, $$y=-2$$, $$y=1$$; в) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $$[2;4]$$; г) значения $$x$$, при которых $$-2\leq y<0$$.
Для параболы вида $$y=ax^2+m$$ сначала находим координаты вершины: они задают число $$m$$, так как вершина имеет вид $$\left(0;m\right)$$. Затем подставляем в уравнение любую точку графика и находим $$a$$.
а) Вершина параболы $$\left(0;-4\right)$$, значит, $$m=-4$$. Графику принадлежит точка $$\left(1;-2\right)$$, тогда
$$-2=a\cdot 1^2-4$$
$$-2=a-4$$
$$a=2.$$
Следовательно, $$y=2x^2-4.$$
б) Вершина параболы $$\left(0;-2\right)$$, значит, $$m=-2$$. Графику принадлежит точка $$\left(2;0\right)$$, тогда
$$0=a\cdot 2^2-2$$
$$0=4a-2$$
$$4a=2$$
$$a=\frac{1}{2}.$$
Следовательно, $$y=\frac{1}{2}x^2-2.$$
в) Вершина параболы $$\left(0;2\right)$$, значит, $$m=2$$. Графику принадлежит точка $$\left(1;3\right)$$, тогда
$$3=a\cdot 1^2+2$$
$$3=a+2$$
$$a=1.$$
Следовательно, $$y=x^2+2.$$
г) Вершина параболы $$\left(0;5\right)$$, значит, $$m=5$$. Графику принадлежит точка $$\left(2;1\right)$$, тогда
$$1=a\cdot 2^2+5$$
$$1=4a+5$$
$$4a=-4$$
$$a=-1.$$
Следовательно, $$y=-x^2+5.$$
д) Вершина параболы $$\left(0;3\right)$$, значит, $$m=3$$. Графику принадлежит точка $$\left(3;0\right)$$, тогда
$$0=a\cdot 3^2+3$$
$$0=9a+3$$
$$9a=-3$$
$$a=-\frac{1}{3}.$$
Следовательно, $$y=-\frac{1}{3}x^2+3.$$
е) Вершина параболы $$\left(0;-1\right)$$, значит, $$m=-1$$. Графику принадлежит точка $$\left(1;-3\right)$$, тогда
$$-3=a\cdot 1^2-1$$
$$-3=a-1$$
$$a=-2.$$
Следовательно, $$y=-2x^2-1.$$
Для функции $$y=\frac{4}{x}$$ составим таблицу значений:
| $$x$$ | $$-4$$ | $$-2$$ | $$-1$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$4$$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $$y$$ | $$-1$$ | $$-2$$ | $$-4$$ | $$4$$ | $$2$$ | $$1$$ |
По этим точкам строим гиперболу.
а)
$$x=-1 \Rightarrow y=-4,$$
$$x=-2 \Rightarrow y=-2,$$
$$x=4 \Rightarrow y=1.$$
б)
$$y=4 \Rightarrow x=1,$$
$$y=-2 \Rightarrow x=-2,$$
$$y=1 \Rightarrow x=4.$$
в) На промежутке $$[2;4]$$ функция убывает, поэтому наибольшее значение достигается при $$x=2$$, а наименьшее — при $$x=4$$:
$$y_{\max}=2,\qquad y_{\min}=1.$$
г) Неравенство $$-2 \le y < 0$$ для функции $$y=\frac{4}{x}$$ выполняется при $$x \le -2$$.
Ответ
а) $$y=2x^2-4$$; б) $$y=\frac{1}{2}x^2-2$$; в) $$y=x^2+2$$; г) $$y=-x^2+5$$; д) $$y=-\frac{1}{3}x^2+3$$; е) $$y=-2x^2-1$$.
Для $$y=\frac{4}{x}$$: а) $$-4,\,-2,\,1$$; б) $$1,\,-2,\,4$$; в) $$y_{\max}=2,\ y_{\min}=1$$; г) $$x \le -2$$.
