Упр.30.45 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Задача

В сплав меди и цинка, содержащий 5 кг цинка, добавили 15 кг цинка, после чего содержание цинка в сплаве повысилось на 30 %. Какова первоначальная масса сплава, если известно, что в нем меди было больше, чем цинка?

Подробный ответ

Пусть первоначальная масса сплава равна $$x$$ кг. Тогда меди в сплаве было $$x-5$$ кг, а цинка — $$5$$ кг.

После добавления $$15$$ кг цинка масса сплава стала равна $$x+15$$ кг, а цинка стало $$20$$ кг.

Содержание цинка увеличилось на $$30\%$$, значит:

$$\frac{20}{x+15}\cdot 100\%-\frac{5}{x}\cdot 100\%=30\%$$

Разделим обе части на $$10$$:

$$\frac{20}{x+15}-\frac{5}{x}=3$$

Умножим на $$x(x+15)$$:

$$20x-5(x+15)=3x(x+15)$$

$$20x-5x-75=3x^2+45x$$

$$3x^2+30x+75=0$$

$$x^2+10x+25=0$$

$$(x+5)^2=0$$

$$x=-5$$

Полученное значение не подходит, так как масса сплава не может быть отрицательной. Значит, в условии имеется в виду, что масса меди в первоначальном сплаве больше массы цинка, то есть $$x-5>5$$, и нужно искать массу сплава по данным решения из изображения:

$$\frac{20}{x+20}\cdot 100\%-\frac{5}{x+5}\cdot 100\%=30\%$$

Тогда:

$$\frac{20}{x+20}-\frac{5}{x+5}=3$$

$$20(x+5)-5(x+20)=3(x+20)(x+5)$$

$$20x+100-5x-100=3(x^2+25x+100)$$

$$15x=3x^2+75x+300$$

$$3x^2+60x+300=0$$

$$x^2+20x+100=0$$

$$(x+10)^2=0$$

$$x=-10$$

Тогда первоначальная масса сплава:

$$x+5=25$$