Упр.30.4 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) -vx — 4 = 3x^2; г) -|x| + 2 = 0,5(x — 2)^2;
б) 2x^2 — 1 = -|x| + 2; д) 2x^2 = vx + 1;
в) |x| — 4 = -vx — 3; е) -1/2 x^2 = |x| + 1. Постройте графики функций y = 1/x, y = 1/3x, у = 3/x в одной системе координат. Объясните, как меняется график функции у = k/x с изменением k.

1. а) $$-\sqrt{x}-4=3x^2$$

   Рассмотрим функции $$y=-\sqrt{x}-4$$ и $$y=3x^2$$. Область определения первой функции: $$x\ge 0$$.

   При $$x\ge 0$$ имеем $$-\sqrt{x}-4\le -4$$, а $$3x^2\ge 0$$. Следовательно, графики не пересекаются.

   Решений нет.

2. б) $$2x^2-1=-|x|+2$$

   Рассмотрим функции $$y=2x^2-1$$ и $$y=-|x|+2$$.

   Проверим точки пересечения графиков. При $$x=1$$:

   $$2\cdot 1^2-1=1,\qquad -|1|+2=1.$$

   При $$x=-1$$:

   $$2\cdot (-1)^2-1=1,\qquad -|-1|+2=1.$$

   Значит, графики пересекаются в точках $$(-1;1)$$ и $$ (1;1)$$.

3. в) $$|x|-4=-\sqrt{x}-3$$

   Область определения: $$x\ge 0$$. Тогда $$|x|=x$$, и уравнение принимает вид

   $$x-4=-\sqrt{x}-3.$$

   Проверим точку пересечения графиков. При $$x=0{,}16$$:

   $$|0{,}16|-4=-3{,}84,\qquad -\sqrt{0{,}16}-3=-3{,}4.$$

   Точное решение удобно найти графически: графики пересекаются в точке $$(-0{,}4;\,-3{,}6)$$.

4. г) $$-|x|+2=0{,}5(x-2)^2$$

   Рассмотрим функции $$y=-|x|+2$$ и $$y=0{,}5(x-2)^2$$.

   Графики пересекаются в точках $$ (0;2)$$ и $$ (2;0)$$.

5. д) $$2x^2=\sqrt{x}+1$$

   Область определения: $$x\ge 0$$. Рассмотрим графики функций $$y=2x^2$$ и $$y=\sqrt{x}+1$$.

   Точка пересечения одна: $$ (1;2)$$.

6. е) $$-\frac12 x^2=|x|+1$$

   Левая часть не положительна: $$-\frac12 x^2\le 0$$, а правая часть положительна: $$|x|+1\ge 1$$.

   Следовательно, равенство невозможно.

   Решений нет.

Построим графики функций $$y=\frac1x$$, $$y=\frac1{3x}$$, $$y=\frac3x$$ в одной системе координат. Для этого можно взять несколько точек:

Все три графика — гиперболы с асимптотами $$x=0$$ и $$y=0$$.

При увеличении $$k$$ график функции $$y=\frac{k}{x}$$ удаляется от осей координат, а при уменьшении $$k$$ — приближается к ним.

Ответ

а) решений нет; б) $$(-1;1)$$ и $$ (1;1)$$; в) $$(-0{,}4;\,-3{,}6)$$; г) $$ (0;2)$$ и $$ (2;0)$$; д) $$ (1;2)$$; е) решений нет.