Упр.30.29 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. Знаменатель обыкновенной дроби больше её числителя на 3. Если к числителю прибавить 7, а к знаменателю 5, то дробь увеличится на $$\frac{1}{2}$$. Найдите эту дробь.

Пусть числитель дроби равен $$x$$, тогда знаменатель равен $$x+3$$.

По условию, если к числителю прибавить 7, а к знаменателю 5, то дробь увеличится на $$\frac{1}{2}$$. Составим уравнение:

$$\frac{x+7}{x+8}-\frac{x}{x+3}=\frac{1}{2}$$

Умножим обе части на $$2(x+8)(x+3)$$:

$$2(x+7)(x+3)-2x(x+8)=(x+8)(x+3)$$

Раскроем скобки:

$$2(x^2+10x+21)-2x^2-16x=x^2+11x+24$$

$$2x^2+20x+42-2x^2-16x=x^2+11x+24$$

$$4x+42=x^2+11x+24$$

$$x^2+7x-18=0$$

Найдём корни уравнения:

$$D=7^2-4\cdot 1\cdot(-18)=49+72=121$$

$$x=\frac{-7\pm 11}{2}$$

$$x_1=-9,\quad x_2=2$$

Проверим:

если $$x=-9$$, то знаменатель $$x+3=-6$$, дробь равна $$\frac{-9}{-6}=\frac{3}{2}$$;

если $$x=2$$, то знаменатель $$x+3=5$$, дробь равна $$\frac{2}{5}$$.

Подходит только дробь $$\frac{2}{5}$$.

Ответ

$$\frac{2}{5}$$