Упр.30.30 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович 8 класс, Мнемозина: 27.30. Числитель несократимой обыкновенной дроби на 5 меньше ее знаменателя. Если числитель уменьшить на 2, а знаменатель увеличить на 16, то дробь уменьшится на 1/3. Найдите эту дробь. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 mordkovich8 new/30-30 827

Пусть числитель дроби равен $$x$$, тогда знаменатель равен $$x+5$$.

По условию, если числитель уменьшить на 2, а знаменатель увеличить на 16, то дробь уменьшится на $$\frac{1}{3}$$. Составим уравнение:

$$\frac{x}{x+5}-\frac{x-2}{x+21}=\frac{1}{3}$$

Умножим обе части на $$3(x+5)(x+21)$$:

$$3x(x+21)-3(x-2)(x+5)=(x+5)(x+21)$$

Раскроем скобки:

$$3x^2+63x-3(x^2+3x-10)=x^2+26x+105$$

$$3x^2+63x-3x^2-9x+30=x^2+26x+105$$

$$x^2-28x+75=0$$

Найдём корни:

$$D=28^2-4\cdot 75=784-300=484=22^2$$

$$x_1=\frac{28-22}{2}=3,\qquad x_2=\frac{28+22}{2}=25$$

Проверим:

если $$x=3$$, то дробь равна $$\frac{3}{8}$$;

если $$x=25$$, то дробь равна $$\frac{25}{30}=\frac{5}{6}$$, но эта дробь сокращается, значит условию о несократимости не соответствует.

Следовательно, искомая дробь:

$$\frac{3}{8}$$

Ответ

$$\frac{3}{8}$$