Упр.30.17 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Решите неравенство:

а) $$\frac{x(x+1)}{3}-\left(\frac{x}{4}-1\right)(x+2)<\frac{x(x-9)}{12}-2\frac{2}{3}$$;

б) $$\frac{x(x-9)}{6}-\frac{4}{15}>\frac{(x+1)^2}{15}+(0{,}5x+1)(0{,}2x-2)$$.

а)

$$\frac{x(x+1)}{3}-\left(\frac{x}{4}-1\right)(x+2)<\frac{x(x-9)}{12}-2\frac{2}{3}$$

Преобразуем левую часть:

$$\frac{x(x+1)}{3}-\left(\frac{x}{4}-1\right)(x+2) = \frac{x^2+x}{3}-\frac{(x-4)(x+2)}{4}$$

$$= \frac{4(x^2+x)-3(x^2-2x-8)}{12} = \frac{4x^2+4x-3x^2+6x+24}{12} = \frac{x^2+10x+24}{12}$$

Преобразуем правую часть:

$$\frac{x(x-9)}{12}-2\frac{2}{3} = \frac{x^2-9x}{12}-\frac{8}{3} = \frac{x^2-9x-32}{12}$$

Тогда

$$\frac{x^2+10x+24}{12}<\frac{x^2-9x-32}{12}$$

$$x^2+10x+24<x^2-9x-32$$

$$19x<-56$$

$$x<-\frac{56}{19}$$

б)

$$\frac{x(x-9)}{6}-\frac{4}{15}>\frac{(x+1)^2}{15}+(0{,}5x+1)(0{,}2x-2)$$

Преобразуем левую часть:

$$\frac{x(x-9)}{6}-\frac{4}{15} = \frac{5(x^2-9x)-8}{30} = \frac{5x^2-45x-8}{30}$$

Преобразуем правую часть:

$$\frac{(x+1)^2}{15}+(0{,}5x+1)(0{,}2x-2) = \frac{x^2+2x+1}{15}+\left(0{,}1x^2-0{,}8x-2\right)$$

$$= \frac{x^2+2x+1+15(0{,}1x^2-0{,}8x-2)}{15} = \frac{x^2+2x+1+1{,}5x^2-12x-30}{15}$$

$$= \frac{2{,}5x^2-10x-29}{15}$$

Тогда

$$\frac{5x^2-45x-8}{30}>\frac{2{,}5x^2-10x-29}{15}$$

$$5x^2-45x-8>2(2{,}5x^2-10x-29)$$

$$5x^2-45x-8>5x^2-20x-58$$

$$-45x-8>-20x-58$$

$$-25x>-50$$

$$x<2$$

Ответ

а) $$x<-\frac{56}{19}$$; б) $$x<2$$.