Упр.30.14 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) 3/(3 + 2v5) + 3/(3 — 2v5); б) 5/(1 + 4v3) + 5/(1 — 4v3). Дана функция у = f(x), где f(x) = {6/x, если -6 ? x < -1; -(x - 1)^2 - 2, если -1 ? x < 2; 2x - 7, если 2 ? x ? 5}. а) Найдите f(-3), f(0), f(2). б) Постройте график функции у = f(x). в) При каких значениях x выполняются равенства f(x) = -3, f(x) = -1, f(x) = -2? г) Перечислите свойства функции.

а)

$$ \frac{3}{3+2\sqrt5}+\frac{3}{3-2\sqrt5} =\frac{3(3-2\sqrt5)+3(3+2\sqrt5)}{(3+2\sqrt5)(3-2\sqrt5)} $$
$$ =\frac{9-6\sqrt5+9+6\sqrt5}{9-20} =\frac{18}{-11} =-\frac{18}{11}. $$

$$ \frac{5}{1+4\sqrt3}+\frac{5}{1-4\sqrt3} =\frac{5(1-4\sqrt3)+5(1+4\sqrt3)}{(1+4\sqrt3)(1-4\sqrt3)} $$
$$ =\frac{5-20\sqrt3+5+20\sqrt3}{1-48} =\frac{10}{-47} =-\frac{10}{47}. $$

б)

$$ f(x)= \begin{cases} \dfrac{6}{x}, & -6 \le x < -1,\\ -(x-1)^2-2, & -1 \le x < 2,\\ 2x-7, & 2 \le x \le 5. \end{cases} $$

а)

$$ f(-3)=\frac{6}{-3}=-2, $$
$$ f(0)=-(0-1)^2-2=-1-2=-3, $$
$$ f(2)=2\cdot 2-7=4-7=-3. $$

б) Построим график по частям.

Для $$y=\dfrac{6}{x}$$ при $$-6 \le x < -1$$ получаем точки: $$ (-6,-1),\;(-3,-2),\;(-2,-3),\;(-1,-6). $$

Для $$y=-(x-1)^2-2$$ при $$-1 \le x < 2$$ вершина параболы — точка $$ (1,-2) $$, ветви направлены вниз.

Для $$y=2x-7$$ при $$2 \le x \le 5$$ получаем точки:
$$ (2,-3),\;(5,3). $$

в)

$$ -(x-1)^2-2=-3 \Rightarrow (x-1)^2=1 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=2. $$
С учётом промежутков получаем:
$$ f(x)=-3 \text{ при } x=-2,\;0,\;2. $$

$$ \frac{6}{x}=-1 \Rightarrow x=-6, $$
$$ 2x-7=-1 \Rightarrow x=3. $$
Значит,
$$ f(x)=-1 \text{ при } x=-6,\;3. $$

$$ \frac{6}{x}=-2 \Rightarrow x=-3, $$
$$ -(x-1)^2-2=-2 \Rightarrow x=1, $$
$$ 2x-7=-2 \Rightarrow x=\frac{5}{2}. $$
Значит,
$$ f(x)=-2 \text{ при } x=-3,\;1,\;\frac{5}{2}. $$

г)

$$ D(f)=[-6;5]. $$

$$ f(x)=0 \text{ при } x=\frac{7}{2}. $$

$$ f(x)<0 \text{ при } x\in[-6;\tfrac{7}{2}), \qquad f(x)>0 \text{ при } x\in(\tfrac{7}{2};5]. $$

Функция убывает на $$[-6;-1]$$ и $$[1;2]$$, возрастает на $$[-1;1]$$ и $$[2;5]$$.

Наибольшее значение: $$f_{\max}=3$$, наименьшее значение: $$f_{\min}=-6$$.

Область значений:
$$ E(f)=[-6;3]. $$

Ответ

а) $$-\dfrac{18}{11}$$; $$-\dfrac{10}{47}$$.
б) $$f(-3)=-2,\; f(0)=-3,\; f(2)=-3$$.
в) $$f(x)=-3$$ при $$x=-2,0,2$$; $$f(x)=-1$$ при $$x=-6,3$$; $$f(x)=-2$$ при $$x=-3,1,\dfrac{5}{2}$$.
г) $$D(f)=[-6;5]$$, $$E(f)=[-6;3]$$.