Упр.30.13 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) Упростим выражение:

$$\left(\frac{a}{b^2+ab}+\frac{a-b}{a^2-ab}\right):\left(\frac{b^2}{a^3-ab^2}+\frac{1}{a-b}\right)$$

$$\frac{a}{b(b+a)}+\frac{a-b}{a(a-b)}=\frac{a}{b(a+b)}+\frac{1}{a}$$

$$\frac{a^2+b(a+b)}{ab(a+b)}=\frac{a^2+ab+b^2}{ab(a+b)}$$

$$\frac{b^2}{a(a^2-b^2)}+\frac{1}{a-b} =\frac{b^2}{a(a-b)(a+b)}+\frac{a(a+b)}{a(a-b)(a+b)}$$

$$\frac{b^2+a(a+b)}{a(a-b)(a+b)} =\frac{a^2+ab+b^2}{a(a-b)(a+b)}$$

Тогда

$$\frac{a^2+ab+b^2}{ab(a+b)}:\frac{a^2+ab+b^2}{a(a-b)(a+b)} =\frac{a-b}{b}.$$

б) Упростим выражение:

$$\left(\frac{xy-z}{x+z}-\frac{yz+x}{z-x}\right)\cdot \left(\frac{x^2-z^2}{y^2-1}:\frac{x^2+z^2}{y-1}\right)$$

Так как $$z-x=-(x-z)$$, то

$$\frac{xy-z}{x+z}-\frac{yz+x}{z-x} = \frac{xy-z}{x+z}+\frac{yz+x}{x-z}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{(xy-z)(x-z)+(yz+x)(x+z)}{(x-z)(x+z)}$$

$$\frac{x^2y-xyz-xz+z^2+xyz+yz^2+x^2+xz}{(x-z)(x+z)} = \frac{x^2y+x^2+yz^2+z^2}{(x-z)(x+z)}$$

$$\frac{(y+1)(x^2+z^2)}{x^2-z^2}$$

Теперь вторую скобку преобразуем:

$$\frac{x^2-z^2}{y^2-1}:\frac{x^2+z^2}{y-1} = \frac{x^2-z^2}{(y-1)(y+1)}\cdot\frac{y-1}{x^2+z^2} = \frac{x^2-z^2}{(y+1)(x^2+z^2)}$$

Тогда всё выражение равно

$$\frac{(y+1)(x^2+z^2)}{x^2-z^2}\cdot \frac{x^2-z^2}{(y+1)(x^2+z^2)}=1.$$

в) Функция задана так:

$$f(x)= \begin{cases} (x+1)^2-1, & -4\le x<1,\\ \dfrac{3}{x}, & 1\le x\le 6. \end{cases}$$

Вычислим значения:

$$f(-4)=(-4+1)^2-1=9-1=8$$

$$f(0)=(0+1)^2-1=1-1=0$$

$$f(1)=\frac{3}{1}=3$$

$$f(3)=\frac{3}{3}=1$$

$$f(6)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

$$f(7)\text{ не существует, так как }7\notin[-4;6].$$

г) На отрезке $$[0;3]$$ функция принимает значения:

на $$[0;1)$$: $$f(x)=(x+1)^2-1$$, здесь минимум при $$x=0$$, то есть $$f(0)=0$$;
на $$[1;3]$$: $$f(x)=\dfrac{3}{x}$$, здесь максимум при $$x=1$$, то есть $$f(1)=3$$.

Следовательно,

$$y_{\min}=0,\qquad y_{\max}=3.$$

Ответ

а) $$\dfrac{a-b}{b}$$; б) $$1$$; в) $$f(-4)=8,\ f(0)=0,\ f(1)=3,\ f(3)=1,\ f(6)=\dfrac12,\ f(7)$$ не существует; г) $$y_{\max}=3,\ y_{\min}=0$$.