Упр.30.13 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

а) (a/(b^2 + ab) + (a — b)/(a^2 — ab)) : (b^2/(a^3 — ab^2) + 1/(a — b);
б) ((xy — z)/(x + z) — (yz + x)/(z — x)) · ((x^2 — z^2)/(y^2 — 1) : (x^2 + z^2)/(y — 1)). Дана функция у = f(x), где f(x) = {(x + 1)^2 — 1, если -4 ? x < 1; 3/x, если 1 ? x ? 6}. а) Найдите f(-4), f(0), f(1), f(3), f(6), f(7). б) Постройте график функции у = f(x). в) При каких значениях х справедливы равенства f(x) = — 1, f(x) = 0, f(x) = 3? г) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0; 3].

Подробный ответ

а) Упростим выражение:

$$ \left(\frac{a}{b^2+ab}+\frac{a-b}{a^2-ab}\right):\left(\frac{b^2}{a^3-ab^2}+\frac{1}{a-b}\right) $$

$$ \frac{a}{b(b+a)}+\frac{a-b}{a(a-b)}=\frac{a}{b(a+b)}+\frac{1}{a} $$

$$ \frac{a^2+b(a+b)}{ab(a+b)}=\frac{a^2+ab+b^2}{ab(a+b)} $$

$$ \frac{b^2}{a(a^2-b^2)}+\frac{1}{a-b} =\frac{b^2}{a(a-b)(a+b)}+\frac{a(a+b)}{a(a-b)(a+b)} $$

$$ \frac{b^2+a(a+b)}{a(a-b)(a+b)} =\frac{a^2+ab+b^2}{a(a-b)(a+b)} $$

Тогда

$$ \frac{a^2+ab+b^2}{ab(a+b)}:\frac{a^2+ab+b^2}{a(a-b)(a+b)} =\frac{a-b}{b}. $$

б) Упростим выражение:

$$ \left(\frac{xy-z}{x+z}-\frac{yz+x}{z-x}\right)\cdot \left(\frac{x^2-z^2}{y^2-1}:\frac{x^2+z^2}{y-1}\right) $$

Так как $$z-x=-(x-z)$$, то

$$ \frac{xy-z}{x+z}-\frac{yz+x}{z-x} = \frac{xy-z}{x+z}+\frac{yz+x}{x-z} $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{(xy-z)(x-z)+(yz+x)(x+z)}{(x-z)(x+z)} $$

$$ \frac{x^2y-xyz-xz+z^2+xyz+yz^2+x^2+xz}{(x-z)(x+z)} = \frac{x^2y+x^2+yz^2+z^2}{(x-z)(x+z)} $$

$$ \frac{(y+1)(x^2+z^2)}{x^2-z^2} $$

Теперь вторую скобку преобразуем:

$$ \frac{x^2-z^2}{y^2-1}:\frac{x^2+z^2}{y-1} = \frac{x^2-z^2}{(y-1)(y+1)}\cdot\frac{y-1}{x^2+z^2} = \frac{x^2-z^2}{(y+1)(x^2+z^2)} $$

Тогда всё выражение равно

$$ \frac{(y+1)(x^2+z^2)}{x^2-z^2}\cdot \frac{x^2-z^2}{(y+1)(x^2+z^2)}=1. $$

в) Функция задана так:

$$ f(x)= \begin{cases} (x+1)^2-1, & -4\le x<1,\\ \dfrac{3}{x}, & 1\le x\le 6. \end{cases} $$

Вычислим значения:

$$ f(-4)=(-4+1)^2-1=9-1=8 $$

$$ f(0)=(0+1)^2-1=1-1=0 $$

$$ f(1)=\frac{3}{1}=3 $$

$$ f(3)=\frac{3}{3}=1 $$

$$ f(6)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} $$

$$ f(7)\text{ не существует, так как }7\notin[-4;6]. $$

г) На отрезке $$[0;3]$$ функция принимает значения:

на $$[0;1)$$: $$f(x)=(x+1)^2-1$$, здесь минимум при $$x=0$$, то есть $$f(0)=0$$;
на $$[1;3]$$: $$f(x)=\dfrac{3}{x}$$, здесь максимум при $$x=1$$, то есть $$f(1)=3$$.

Следовательно,

$$ y_{\min}=0,\qquad y_{\max}=3. $$