Упр.30.12 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) (5x + 3y)/y; б) (x + y)^2/xy. При каких значениях x прямая:
а) у = 2х — 2 расположена ниже гиперболы у = 4/x;
б) у = 1/2 х — 2 расположена выше гиперболы у = 6/x?

Из условия известно, что

$$\frac{x+2y}{y}=-3.$$

Тогда

$$\frac{x}{y}+\frac{2y}{y}=-3,$$

$$\frac{x}{y}+2=-3,$$

$$\frac{x}{y}=-5.$$

а)

$$\frac{5x+3y}{y}=\frac{5x}{y}+\frac{3y}{y}=5\cdot\frac{x}{y}+3=5\cdot(-5)+3=-22.$$

б)

$$\frac{(x+y)^2}{xy}=\frac{x^2+2xy+y^2}{xy}=\frac{x^2}{xy}+\frac{2xy}{xy}+\frac{y^2}{xy}=\frac{x}{y}+2+\frac{y}{x}.$$

Так как $$\frac{x}{y}=-5,$$ то

$$\frac{y}{x}=\frac{1}{-5}=-\frac{1}{5}.$$

Следовательно,

$$\frac{(x+y)^2}{xy}=-5+2-\frac{1}{5}=-3-\frac{1}{5}=-3\frac{1}{5}=-3{,}2.$$

а) Прямая $$y=2x-2$$ расположена ниже гиперболы $$y=\frac{4}{x}$$, если

$$2x-2<\frac{4}{x}, \qquad x\ne 0.$$

Решим неравенство:

$$2x-2-\frac{4}{x}<0,$$

$$\frac{2x^2-2x-4}{x}<0,$$

$$\frac{2(x^2-x-2)}{x}<0,$$

$$\frac{2(x-2)(x+1)}{x}<0.$$

Отсюда

$$x<-1 \quad \text{или} \quad 0<x<2.$$

б) Прямая $$y=\frac12x-2$$ расположена выше гиперболы $$y=\frac{6}{x}$$, если

$$\frac12x-2>\frac{6}{x}, \qquad x\ne 0.$$

Решим неравенство:

$$\frac12x-2-\frac{6}{x}>0,$$

$$\frac{x^2-4x-12}{2x}>0,$$

$$\frac{(x-6)(x+2)}{x}>0.$$

Отсюда

$$-2<x<0 \quad \text{или} \quad x>6.$$

Ответ

а) $$-22$$; б) $$-3{,}2$$; при $$x<-1$$ или $$0<x<2$$; при $$-2<x<0$$ или $$x>6$$.