Упр.30.1 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович 8 класс, Мнемозина: 27.4. Числитель дроби на 1 меньше знаменателя. Если эту дробь сложить с обратной ей дробью, то получится 2*1/12. Найдите исходную дробь.

Пусть знаменатель дроби равен $$x$$, тогда числитель равен $$x-1$$. По условию:

$$\frac{x-1}{x}+\frac{x}{x-1}=2\frac{1}{12}=\frac{25}{12}.$$

Умножим обе части уравнения на $$12x(x-1)$$:

$$12(x-1)^2+12x^2=25x(x-1).$$

Раскроем скобки и приведём подобные:

$$12(x^2-2x+1)+12x^2=25x^2-25x$$

$$12x^2-24x+12+12x^2-25x^2+25x=0$$

$$-x^2+x+12=0$$

$$x^2-x-12=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-12)=49,$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm 7}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=4,\qquad x_2=-3.$$

Проверим:

при $$x=4$$ дробь равна $$\frac{4-1}{4}=\frac{3}{4}$$, тогда обратная ей $$\frac{4}{3}$$;

при $$x=-3$$ дробь равна $$\frac{-4}{-3}=\frac{4}{3}$$, что не подходит по условию на исходную дробь.

Значит, исходная дробь равна $$\frac{3}{4}$$.

Ответ

$$\frac{3}{4}$$