Дополнительная задача 3 Глава 6 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
а) его корни имеют разные знаки и а > 0;
б) его корни имеют разные знаки и а < 0;
в) его корни положительны, различны и а < 0;
г) он не имеет корней и а + b + с > 0;
д) он не имеет корней и 4а + с > 2b;
е) он имеет только один корень, который положителен, и 9а < 3b - c.
Отрезок [3; 4] на координатной прямой разделили на девять равных отрезков, отметили их концы и наудачу выбрали один из них. Найдите вероятность того, что соответствующее ему число:
а) целое; г) равно v10;
б) рациональное; д) больше 3,4;
в) рациональное, но не целое; е) меньше v10.
Для квадратного трёхчлена $$ax^2+bx+c$$ по теореме Виета:
$$x_1x_2=\frac{c}{a}.$$
Если корни имеют разные знаки, то $$x_1x_2<0$$, значит $$\frac{c}{a}<0$$, то есть $$a$$ и $$c$$ разных знаков.
а) $$a>0 \Rightarrow c<0.$$
б) $$a<0 \Rightarrow c>0.$$
в) Если корни положительны, то их произведение положительно: $$x_1x_2>0$$. При $$a<0$$ получаем $$c<0.$$
г) Если трёхчлен не имеет корней, то $$b^2-4ac<0$$. Кроме того, $$a+b+c>0$$, значит
$$c>-a-b.$$
Из $$b^2-4ac<0$$ следует $$4ac>b^2$$, то есть
$$c>\frac{b^2}{4a}.$$
Сравним:
$$\frac{b^2}{4a}=-a-b \Rightarrow b^2=4a(-a-b).$$
$$b^2+4ab+4a^2=0,$$
$$\left(b+2a\right)^2=0.$$
Так как $$\left(b+2a\right)^2\ge 0$$, то строгое неравенство невозможно, значит $$c>0.$$
д) Если $$b^2-4ac<0$$ и $$4a+c>2b$$, то
$$c>2b-4a.$$
Из $$b^2-4ac<0$$ имеем $$c>\frac{b^2}{4a}.$$ Тогда
$$\frac{b^2}{4a}=2b-4a \Rightarrow b^2=4a(2b-4a),$$
$$b^2-8ab+16a^2=0,$$
$$\left(b-4a\right)^2=0.$$
Следовательно, строгое неравенство выполняется, и $$c>0.$$
е) Если трёхчлен имеет только один корень, то $$b^2-4ac=0$$, а корень
$$x=-\frac{b}{2a}>0.$$
Из условия $$9a<3b-c$$ получаем
$$c<3b-9a.$$
Так как $$b^2=4ac$$ и корень положителен, то $$a$$ и $$b$$ имеют разные знаки. Проверка возможных случаев показывает, что при $$c>0$$ условие $$9a<3b-c$$ не выполняется, а при $$c<0$$ выполняется. Значит, $$c<0.$$
На отрезке $$[3;4]$$ отметили концы и разделили его на 9 равных частей. Получили 10 равновозможных чисел:
$$3,\ 3\frac{1}{9},\ 3\frac{2}{9},\ 3\frac{3}{9},\ 3\frac{4}{9},\ 3\frac{5}{9},\ 3\frac{6}{9},\ 3\frac{7}{9},\ 3\frac{8}{9},\ 4.$$
Всего исходов: $$10$$.
а) Целые числа: $$3$$ и $$4$$. Тогда
$$P=\frac{2}{10}=0{,}2.$$
б) Рациональны все числа, значит
$$P=\frac{10}{10}=1.$$
в) Рациональные, но не целые: $$8$$ чисел. Тогда
$$P=\frac{8}{10}=0{,}8.$$
г) Число $$\sqrt{10}$$ не входит в полученный набор, значит
$$P=\frac{0}{10}=0.$$
д) Больше $$3{,}4$$ — это числа $$3\frac{4}{9},\ 3\frac{5}{9},\ 3\frac{6}{9},\ 3\frac{7}{9},\ 3\frac{8}{9},\ 4$$, всего $$6$$ чисел. Тогда
$$P=\frac{6}{10}=0{,}6.$$
е) Меньше $$\sqrt{10}$$, то есть меньше примерно $$3{,}16$$, — это числа $$3$$ и $$3\frac{1}{9}$$. Тогда
$$P=\frac{2}{10}=0{,}2.$$
Ответ
1) а) $$c<0$$; б) $$c>0$$; в) $$c<0$$; г) $$c>0$$; д) $$c>0$$; е) $$c<0$$.
2) а) $$0{,}2$$; б) $$1$$; в) $$0{,}8$$; г) $$0$$; д) $$0{,}6$$; е) $$0{,}2$$.
