Дополнительная задача 3 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) у = ах^2 + а; г) у = 2х^2 + bx + с;
б) у = ах^2 + с; д) y = (а + b)х^2;
в) у = ах^2 + bх; е) у = ах^2 + bх + с? Найдите знак свободного коэффициента квадратного трёхчлена ах^2 + bх + с, если:
а) его корни имеют разные знаки и а > 0;
б) его корни имеют разные знаки и а < 0; в) его корни положительны, различны и а < 0; г) он не имеет корней и а + b + с > 0;
д) он не имеет корней и 4а + с > 2b;
е) он имеет только один корень, который положителен, и 9а < 3b - c.

Числа $$a, b, c$$ выбирают из множества $$\{-1; 0; 1\}$$.

1. $$y=ax^2+a$$

   Для $$a$$ есть 3 варианта: $$-1, 0, 1$$. Значит, можно составить $$3$$ функции.

2. $$y=ax^2+c$$

   Для $$a$$ — 3 варианта, для $$c$$ — 3 варианта. Тогда всего:

   $$3 \cdot 3 = 9.$$

3. $$y=ax^2+bx$$

   Для $$a$$ — 3 варианта, для $$b$$ — 3 варианта. Тогда всего:

   $$3 \cdot 3 = 9.$$

4. $$y=2x^2+bx+c$$

   Для $$b$$ — 3 варианта, для $$c$$ — 3 варианта. Тогда всего:

   $$3 \cdot 3 = 9.$$

5. $$y=(a+b)x^2$$

   Нужно посчитать различные значения суммы $$a+b$$ при $$a, b \in \{-1; 0; 1\}$$:

   $$-1-1=-2,\quad -1+0=-1,\quad -1+1=0,$$
   $$0+0=0,\quad 0+1=1,\quad 1+1=2.$$

   Получаем 5 различных функций:

   $$y=-2x^2,\; y=-x^2,\; y=0,\; y=x^2,\; y=2x^2.$$

6. $$y=ax^2+bx+c$$

   Для $$a$$ — 3 варианта, для $$b$$ — 3 варианта, для $$c$$ — 3 варианта. Тогда всего:

   $$3 \cdot 3 \cdot 3 = 27.$$

Теперь найдём знак свободного коэффициента $$c$$ для квадратного трёхчлена $$ax^2+bx+c$$.

1. Если корни имеют разные знаки, то их произведение отрицательно:

   $$x_1x_2=\frac{c}{a}<0.$$

   а) При $$a>0$$ получаем $$c<0$$.

   б) При $$a<0$$ получаем $$c>0$$.

2. Если корни положительны и различны, а $$a<0$$, то

   $$x_1x_2=\frac{c}{a}>0,$$

   значит, $$c<0$$.

3. Если трёхчлен не имеет корней и $$a+b+c>0$$, то при $$x=1$$ имеем

   $$a+b+c>0.$$

   Для параболы без корней значение выражения не меняет знак, значит свободный коэффициент положителен:

   $$c>0.$$

4. Если трёхчлен не имеет корней и $$4a+c>2b$$, то

   $$4a+c-2b>0 \quad \Rightarrow \quad c>2b-4a.$$

   При отсутствии корней для квадратного трёхчлена знак свободного коэффициента в этом случае положителен, значит

   $$c>0.$$

5. Если трёхчлен имеет только один корень, который положителен, и $$9a<3b-c$$, то корень равен

   $$x=-\frac{b}{2a}>0.$$

   Отсюда следует, что $$a$$ и $$b$$ разных знаков. Условие $$9a<3b-c$$ перепишем так:

   $$c<3b-9a.$$

   С учётом того, что корень один и положителен, получаем

   $$c<0.$$

Ответ

1) а) $$3$$; б) $$9$$; в) $$9$$; г) $$9$$; д) $$5$$; е) $$27$$.
2) а) $$c<0$$; б) $$c>0$$; в) $$c<0$$; г) $$c>0$$; д) $$c>0$$; е) $$c<0$$.