Упр.3.27 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович 8 класс, Мнемозина: Докажите, что выражение (x2-3)/(x-2)4 — (5x-1)/(x-2)4 + (x+6)/(x-2)4 при всех допустимых значениях переменной принимает положительные значения.

Приведём дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{x^2-3}{(x-2)^4}-\frac{5x-1}{(x-2)^4}+\frac{x+6}{(x-2)^4} = \frac{x^2-3-5x+1+x+6}{(x-2)^4} $$

Упростим числитель:

$$ \frac{x^2-4x+4}{(x-2)^4} = \frac{(x-2)^2}{(x-2)^4} = \frac{1}{(x-2)^2} $$

При допустимых значениях переменной $$x \ne 2$$ имеем $$ (x-2)^2>0 $$, значит

$$ \frac{1}{(x-2)^2}>0. $$

Следовательно, выражение при всех допустимых значениях переменной принимает положительные значения.

Ответ

$$\frac{1}{(x-2)^2}>0,\quad x\ne 2.$$