Упр.3.27 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что выражение $$\frac{x^2-3}{(x-2)^4}-\frac{5x-1}{(x-2)^4}+\frac{x+6}{(x-2)^4}$$ при всех допустимых значениях переменной принимает положительные значения.

Приведём дроби к общему знаменателю:

$$\frac{x^2-3}{(x-2)^4}-\frac{5x-1}{(x-2)^4}+\frac{x+6}{(x-2)^4} = \frac{x^2-3-5x+1+x+6}{(x-2)^4}$$

Упростим числитель:

$$\frac{x^2-4x+4}{(x-2)^4} = \frac{(x-2)^2}{(x-2)^4} = \frac{1}{(x-2)^2}$$

При допустимых значениях переменной $$x \ne 2$$ имеем $$(x-2)^2>0$$, значит

$$\frac{1}{(x-2)^2}>0.$$

Следовательно, выражение при всех допустимых значениях переменной принимает положительные значения.

Ответ

$$\frac{1}{(x-2)^2}>0,\quad x\ne 2.$$