Упр.29.6 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. Запишите уравнение параболы $$y=a(x+l)^2$$, график которой изображён на указанном рисунке: а) рис. 59; в) рис. 61; д) рис. 63; б) рис. 60; г) рис. 62; е) рис. 64.
2. Не строя график функции, укажите промежутки её возрастания и убывания: а) $$y=3x^2+6x-5$$; г) $$y=2x^2-4x-3$$; б) $$y=-3x^2-6x-1$$; д) $$y=-2x^2+6x+5$$; в) $$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{4}x+1\frac{1}{2}$$; е) $$y=-\frac{1}{3}x^2+1\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}$$.

1. Для параболы вида $$y=a(x+l)^2$$ вершина имеет координаты $$(-l;0)$$. Подставим в уравнение ещё одну точку графика.

   а) Вершина $$(-1;0)$$, значит, $$l=1$$. Точка $$(0;1)$$ принадлежит графику:

   $$1=a(0+1)^2$$
   $$a=1$$

   Следовательно, $$y=(x+1)^2$$.

   б) Вершина $$(1;0)$$, значит, $$l=-1$$. Точка $$(0;2)$$ принадлежит графику:

   $$2=a(0-1)^2$$
   $$a=2$$

   Следовательно, $$y=2(x-1)^2$$.

   в) Вершина $$(-1;0)$$, значит, $$l=1$$. Точка $$(1;2)$$ принадлежит графику:

   $$2=a(1+1)^2$$
   $$2=4a$$
   $$a=\frac12$$

   Следовательно, $$y=\frac12(x+1)^2$$.

   г) Вершина $$(3;0)$$, значит, $$l=-3$$. Точка $$(0;-3)$$ принадлежит графику:

   $$-3=a(0-3)^2$$
   $$-3=9a$$
   $$a=-\frac13$$

   Следовательно, $$y=-\frac13(x-3)^2$$.

   д) Вершина $$(-1;0)$$, значит, $$l=1$$. Точка $$(0;-3)$$ принадлежит графику:

   $$-3=a(0+1)^2$$
   $$a=-3$$

   Следовательно, $$y=-3(x+1)^2$$.

   е) Вершина $$(-2;0)$$, значит, $$l=2$$. Точка $$(0;-4)$$ принадлежит графику:

   $$-4=a(0+2)^2$$
   $$-4=4a$$
   $$a=-1$$

   Следовательно, $$y=-(x+2)^2$$.

2. Для функции $$y=ax^2+bx+c$$ абсцисса вершины равна $$x_0=-\frac{b}{2a}$$. Если $$a>0$$, то функция убывает на $$(-\infty;x_0]$$ и возрастает на $$[x_0;+\infty)$$. Если $$a<0$$, то наоборот.

   а) $$y=3x^2+6x-5$$

   $$x_0=-\frac{6}{2\cdot 3}=-1$$

   Функция убывает на $$(-\infty;-1]$$ и возрастает на $$[-1;+\infty)$$.

   б) $$y=-3x^2-6x-1$$

   $$x_0=-\frac{-6}{2\cdot(-3)}=-1$$

   Функция возрастает на $$(-\infty;-1]$$ и убывает на $$[-1;+\infty)$$.

   в) $$y=\frac12x^2-\frac34x+\frac32$$

   $$x_0=-\frac{-\frac34}{2\cdot\frac12}=\frac34$$

   Функция убывает на $$(-\infty;\frac34]$$ и возрастает на $$[\frac34;+\infty)$$.

   г) $$y=2x^2-4x-3$$

   $$x_0=-\frac{-4}{2\cdot 2}=1$$

   Функция убывает на $$(-\infty;1]$$ и возрастает на $$[1;+\infty)$$.

   д) $$y=-2x^2+6x+5$$

   $$x_0=-\frac{6}{2\cdot(-2)}=\frac32$$

   Функция возрастает на $$(-\infty;\frac32]$$ и убывает на $$[\frac32;+\infty)$$.

   е) $$y=-\frac13x^2+\frac32x-\frac34$$

   $$x_0=-\frac{\frac32}{2\cdot\left(-\frac13\right)}=\frac94$$

   Функция возрастает на $$(-\infty;\frac94]$$ и убывает на $$[\frac94;+\infty)$$.

Ответ

а) $$y=(x+1)^2$$;
б) $$y=2(x-1)^2$$;
в) $$y=\frac12(x+1)^2$$;
г) $$y=-\frac13(x-3)^2$$;
д) $$y=-3(x+1)^2$$;
е) $$y=-(x+2)^2$$.

а) убывает на $$(-\infty;-1]$$, возрастает на $$[-1;+\infty)$$;
б) возрастает на $$(-\infty;-1]$$, убывает на $$[-1;+\infty)$$;
в) убывает на $$(-\infty;\frac34]$$, возрастает на $$[\frac34;+\infty)$$;
г) убывает на $$(-\infty;1]$$, возрастает на $$[1;+\infty)$$;
д) возрастает на $$(-\infty;\frac32]$$, убывает на $$[\frac32;+\infty)$$;
е) возрастает на $$(-\infty;\frac94]$$, убывает на $$[\frac94;+\infty)$$.