Упр.29.5 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

Постройте график функции $$y=2(x-2)^2$$. а) Найдите значения $$y$$ при $$x=-1;\ 0;\ 1;\ 2$$. б) Найдите значения $$x$$, при которых $$y=0;\ 2;\ 8$$. в) Укажите промежутки возрастания и убывания функции. г) Запишите уравнение оси симметрии параболы.
Найдите координаты вершины параболы: а) $$y=3x^2+6x-5$$; г) $$y=2x^2-4x-3$$; б) $$y=-3x^2-6x-1$$; д) $$y=-2x^2+6x+5$$; в) $$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{4}x+1\frac{1}{2}$$; е) $$y=-\frac{1}{3}x^2+1\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}$$.

Подробный ответ

Функция $$y=2(x-2)^2$$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Её вершина находится в точке $$(2;0)$$, а ось симметрии имеет уравнение $$x=2$$.

а) Найдём значения функции:

$$\begin{aligned} x=-1 &\Rightarrow y=2(-1-2)^2=2\cdot 9=18,\\ x=0 &\Rightarrow y=2(0-2)^2=2\cdot 4=8,\\ x=1 &\Rightarrow y=2(1-2)^2=2\cdot 1=2,\\ x=2 &\Rightarrow y=2(2-2)^2=0. \end{aligned}$$

б) Найдём, при каких значениях $$x$$ функция принимает заданные значения:

$$\begin{aligned} y=0 &\Rightarrow 2(x-2)^2=0 \Rightarrow x=2,\\ y=2 &\Rightarrow 2(x-2)^2=2 \Rightarrow (x-2)^2=1 \Rightarrow x=1 \text{ или } x=3,\\ y=8 &\Rightarrow 2(x-2)^2=8 \Rightarrow (x-2)^2=4 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=4. \end{aligned}$$

в) Так как парабола направлена вверх, функция убывает до вершины и возрастает после неё:

$$\text{убывает на } (-\infty;2], \qquad \text{возрастает на } [2;+\infty).$$

г) Ось симметрии параболы:

$$x=2.$$

Координаты вершины параболы:

$$y=3x^2+6x-5$$
$$x_0=-\frac{6}{2\cdot 3}=-1,\qquad y_0=3\cdot(-1)^2+6\cdot(-1)-5=-8.$$
$$(-1;-8)$$
$$y=-3x^2-6x-1$$
$$x_0=-\frac{-6}{2\cdot(-3)}=-1,\qquad y_0=-3\cdot(-1)^2-6\cdot(-1)-1=2.$$
$$(-1;2)$$
$$y=\frac12x^2-\frac34x+1\frac12$$
$$x_0=-\frac{-\frac34}{2\cdot\frac12}=\frac34,\qquad y_0=\frac12\left(\frac34\right)^2-\frac34\cdot\frac34+\frac32=\frac{39}{32}.$$
$$\left(\frac34;\frac{39}{32}\right)$$
$$y=2x^2-4x-3$$
$$x_0=-\frac{-4}{2\cdot 2}=1,\qquad y_0=2\cdot 1^2-4\cdot 1-3=-5.$$
$$(1;-5)$$
$$y=-2x^2+6x+5$$
$$x_0=-\frac{6}{2\cdot(-2)}=\frac32,\qquad y_0=-2\left(\frac32\right)^2+6\cdot\frac32+5=\frac{19}{2}.$$
$$\left(\frac32;\frac{19}{2}\right)$$
$$y=-\frac13x^2+1\frac12x-\frac34$$
$$x_0=-\frac{\frac32}{2\cdot\left(-\frac13\right)}=\frac94,\qquad y_0=-\frac13\left(\frac94\right)^2+\frac32\cdot\frac94-\frac34=\frac{15}{16}.$$
$$\left(\frac94;\frac{15}{16}\right)$$

Ответ

а) $$18,\ 8,\ 2,\ 0$$;
б) $$y=0 \Rightarrow x=2;\quad y=2 \Rightarrow x=1,3;\quad y=8 \Rightarrow x=0,4$$;
в) убывает на $$(-\infty;2]$$, возрастает на $$[2;+\infty)$$;
г) $$x=2$$;
вершины: $$(-1;-8),\ (-1;2),\ \left(\frac34;\frac{39}{32}\right),\ (1;-5),\ \left(\frac32;\frac{19}{2}\right),\ \left(\frac94;\frac{15}{16}\right).$$