Упр.29.4 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
а) $$y=2(x-1)^2$$ на отрезке $$[0;2]$$;
б) $$y=\sqrt{x-3}$$ на луче $$[5;+\infty)$$;
в) $$y=-|x+3|$$ на интервале $$(-2;5)$$;
г) $$y=0{,}5(x+2)^2$$ на интервале $$(0;4)$$;
д) $$y=-\sqrt{x+1}$$ на отрезке $$[2;8]$$;
е) $$y=-|x-3|$$ на луче $$(-\infty;3]$$. - Запишите уравнение прямой, являющейся осью симметрии параболы:
а) $$y=2x^2-4x+5$$;
б) $$y=-5x^2+2x-1$$;
в) $$y=-\frac{1}{2}x^2-\frac{2}{3}x+\frac{5}{7}$$;
г) $$y=3x^2+6x$$;
д) $$y=-2x^2-6x-3$$;
е) $$y=\frac{2}{3}x^2+\frac{4}{5}x-\frac{5}{7}$$.
Найдём наибольшее и наименьшее значения функции.
а) $$y=2(x-1)^2$$ на отрезке $$[0;2]$$.
Парабола направлена вверх, вершина $$(1;0)$$ лежит на отрезке, значит
$$y_{\min}=0.$$
На концах отрезка:
$$y(0)=2(0-1)^2=2,\qquad y(2)=2(2-1)^2=2.$$
Следовательно,
$$y_{\max}=2,\quad y_{\min}=0.$$
б) $$y=\sqrt{x-3}$$ на луче $$[5;+\infty)$$.
Функция возрастает, поэтому наименьшее значение достигается при $$x=5$$:
$$y_{\min}=\sqrt{5-3}=\sqrt{2}.$$
Наибольшего значения на луче не существует, так как при $$x\to+\infty$$ значение функции неограниченно возрастает.
в) $$y=-|x+3|$$ на интервале $$(-2;5)$$.
Значение функции наибольшее в вершине при $$x=-3$$, но эта точка не принадлежит интервалу. На интервале функция не достигает ни наибольшего, ни наименьшего значения.
Следовательно, $$y_{\max}$$ и $$y_{\min}$$ не существуют.
г) $$y=0{,}5(x+2)^2$$ на интервале $$(0;4)$$.
Парабола направлена вверх, вершина $$(-2;0)$$ не принадлежит интервалу. На $$(0;4)$$ функция возрастает, но концы интервала не входят в область рассмотрения.
Значит, наибольшего и наименьшего значений на этом интервале нет.
д) $$y=-\sqrt{x+1}$$ на отрезке $$[2;8]$$.
Функция убывает, поэтому
$$y_{\max}=y(2)=-\sqrt{2+1}=-\sqrt{3},$$
$$y_{\min}=y(8)=-\sqrt{8+1}=-3.$$
е) $$y=-|x-3|$$ на луче $$(-\infty;3]$$.
Наибольшее значение достигается в вершине при $$x=3$$:
$$y_{\max}=0.$$
Наименьшего значения на луче не существует, так как при $$x\to-\infty$$ функция неограниченно убывает.
Найдём ось симметрии параболы.
Для функции $$y=ax^2+bx+c$$ ось симметрии задаётся формулой
$$x=-\frac{b}{2a}.$$
а) $$y=2x^2-4x+5$$
$$x=-\frac{-4}{2\cdot 2}=1.$$
б) $$y=-5x^2+2x-1$$
$$x=-\frac{2}{2\cdot(-5)}=\frac{1}{5}.$$
в) $$y=-\frac12 x^2-\frac23 x+\frac57$$
$$x=-\frac{-\frac23}{2\cdot\left(-\frac12\right)}=-\frac23.$$
г) $$y=3x^2+6x$$
$$x=-\frac{6}{2\cdot 3}=-1.$$
д) $$y=-2x^2-6x-3$$
$$x=-\frac{-6}{2\cdot(-2)}=-\frac32.$$
е) $$y=\frac23 x^2+\frac45 x-\frac57$$
$$x=-\frac{\frac45}{2\cdot\frac23}=-\frac35.$$
Ответ
1) а) $$y_{\max}=2,\ y_{\min}=0$$; б) $$y_{\max}$$ не существует, $$y_{\min}=\sqrt2$$; в) $$y_{\max}$$ и $$y_{\min}$$ не существуют; г) $$y_{\max}$$ и $$y_{\min}$$ не существуют; д) $$y_{\max}=-\sqrt3,\ y_{\min}=-3$$; е) $$y_{\max}=0,\ y_{\min}$$ не существует.
2) а) $$x=1$$; б) $$x=\frac15$$; в) $$x=-\frac23$$; г) $$x=-1$$; д) $$x=-\frac32$$; е) $$x=-\frac35$$.
