Упр.29.3 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

Постройте график функции и укажите промежутки её возрастания и убывания:
а) $$y=2(x+2)^2$$; г) $$y=\frac{1}{2}(x-3)^2$$; б) $$y=-|x-2|$$; д) $$y=|x+4|$$; в) $$y=\sqrt{x-1}$$; е) $$y=-\sqrt{x+3}$$.
Не выполняя построения, укажите, вверх или вниз направлены ветви параболы:
а) $$y=2x^2-x+1$$; г) $$y=3x^2+7x$$; б) $$y=-\frac{1}{2}x^2-2x$$; д) $$-3x^2+12x-2$$; в) $$y=-\frac{1}{6}x^2-\frac{2}{5}x+\frac{3}{4}$$; е) $$y=\frac{2}{7}x^2-\frac{1}{12}x-5$$.

Подробный ответ

а) $$y=2(x+2)^2$$
Это график функции $$y=2x^2$$, сдвинутый на 2 единицы влево. Вершина параболы: $$(-2;0)$$. Так как коэффициент при квадрате положительный, функция убывает на $$(-\infty;-2]$$ и возрастает на $$[-2;+\infty)$$.
б) $$y=-|x-2|$$
Это график функции $$y=-|x|$$, сдвинутый на 2 единицы вправо. Вершина: $$(2;0)$$. Функция возрастает на $$(-\infty;2]$$ и убывает на $$[2;+\infty)$$.
в) $$y=\sqrt{x-1}$$
Это график функции $$y=\sqrt{x}$$, сдвинутый на 1 единицу вправо. Область определения: $$x\ge 1$$. Функция возрастает на $$[1;+\infty)$$.
г) $$y=\frac12(x-3)^2$$
Это график функции $$y=\frac12x^2$$, сдвинутый на 3 единицы вправо. Вершина: $$(3;0)$$. Функция убывает на $$(-\infty;3]$$ и возрастает на $$[3;+\infty)$$.
д) $$y=|x+4|$$
Это график функции $$y=|x|$$, сдвинутый на 4 единицы влево. Вершина: $$(-4;0)$$. Функция убывает на $$(-\infty;-4]$$ и возрастает на $$[-4;+\infty)$$.
е) $$y=-\sqrt{x+3}$$
Это график функции $$y=-\sqrt{x}$$, сдвинутый на 3 единицы влево. Область определения: $$x\ge -3$$. Функция убывает на $$[-3;+\infty)$$.

Для параболы $$y=ax^2+bx+c$$ направление ветвей определяется знаком коэффициента $$a$$: если $$a>0$$, ветви направлены вверх; если $$a<0$$, ветви направлены вниз.

а) $$y=2x^2-x+1$$ — $$a=2>0$$, значит ветви направлены вверх.
б) $$y=-\frac12x^2-2x$$ — $$a=-\frac12<0$$, значит ветви направлены вниз.
в) $$y=-\frac16x^2-\frac25x+\frac34$$ — $$a=-\frac16<0$$, значит ветви направлены вниз.
г) $$y=3x^2+7x$$ — $$a=3>0$$, значит ветви направлены вверх.
д) $$y=-3x^2+12x-2$$ — $$a=-3<0$$, значит ветви направлены вниз.
е) $$y=\frac27x^2-\frac1{12}x-5$$ — $$a=\frac27>0$$, значит ветви направлены вверх.

Ответ

1) а) убывает на $$(-\infty;-2]$$, возрастает на $$[-2;+\infty)$$;
б) возрастает на $$(-\infty;2]$$, убывает на $$[2;+\infty)$$;
в) возрастает на $$[1;+\infty)$$;
г) убывает на $$(-\infty;3]$$, возрастает на $$[3;+\infty)$$;
д) убывает на $$(-\infty;-4]$$, возрастает на $$[-4;+\infty)$$;
е) убывает на $$[-3;+\infty)$$.

2) а) вверх; б) вниз; в) вниз; г) вверх; д) вниз; е) вверх.