Упр.29.28 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)
б) х2 + 1/x2 + х + 1/x = 4;
в) (х + 1)(х + 2)(х + 3)(х + 4) = 3;
г) 2(x2+1/x2) -7(x+1/x)+9 = 0.
$$x(x-1)(x-2)(x-3)=15$$
Сгруппируем множители:
$$x(x-3)(x-1)(x-2)=15$$
$$\bigl(x^2-3x\bigr)\bigl(x^2-3x+2\bigr)=15$$
Пусть $$x^2-3x=a$$. Тогда
$$a(a+2)=15$$
$$a^2+2a-15=0$$
$$D=4+60=64$$
$$a_1=\frac{-2-8}{2}=-5,\qquad a_2=\frac{-2+8}{2}=3$$
1) $$x^2-3x=-5$$, то есть $$x^2-3x+5=0$$. Корней нет, так как $$D=9-20<0$$.
2) $$x^2-3x=3$$, то есть $$x^2-3x-3=0$$.
$$D=9+12=21$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{21}}{2}$$
$$x^2+\frac{1}{x^2}+x+\frac{1}{x}=4$$
Пусть $$x+\frac{1}{x}=a$$, тогда
$$x^2+\frac{1}{x^2}=a^2-2$$
Получаем:
$$a^2-2+a=4$$
$$a^2+a-6=0$$
$$D=1+24=25$$
$$a_1=\frac{-1-5}{2}=-3,\qquad a_2=\frac{-1+5}{2}=2$$
1) $$x+\frac{1}{x}=-3$$, тогда
$$x^2+3x+1=0$$
$$D=9-4=5$$
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt5}{2}$$
2) $$x+\frac{1}{x}=2$$, тогда
$$x^2-2x+1=0$$
$$\left(x-1\right)^2=0,\qquad x=1$$
$$\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)=3$$
Сгруппируем множители:
$$\left(x^2+5x+4\right)\left(x^2+5x+6\right)=3$$
Пусть $$x^2+5x=a$$. Тогда
$$\left(a+4\right)\left(a+6\right)=3$$
$$a^2+10a+24=3$$
$$a^2+10a+21=0$$
$$D=100-84=16$$
$$a_1=\frac{-10-4}{2}=-7,\qquad a_2=\frac{-10+4}{2}=-3$$
1) $$x^2+5x=-7$$, то есть $$x^2+5x+7=0$$. Корней нет, так как $$D=25-28<0$$.
2) $$x^2+5x=-3$$, то есть $$x^2+5x+3=0$$.
$$D=25-12=13$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{13}}{2}$$
$$2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-7\left(x+\frac{1}{x}\right)+9=0$$
Пусть $$x+\frac{1}{x}=a$$, тогда
$$x^2+\frac{1}{x^2}=a^2-2$$
Подставим:
$$2(a^2-2)-7a+9=0$$
$$2a^2-7a+5=0$$
$$D=49-40=9$$
$$a_1=\frac{7-3}{4}=1,\qquad a_2=\frac{7+3}{4}=\frac52$$
1) $$x+\frac{1}{x}=1$$, тогда
$$x^2-x+1=0$$
$$D=1-4<0$$, корней нет.
2) $$x+\frac{1}{x}=\frac52$$, тогда
$$2x^2-5x+2=0$$
$$D=25-16=9$$
$$x_1=\frac{5-3}{4}=\frac12,\qquad x_2=\frac{5+3}{4}=2$$
Ответ
а) $$x=\frac{3\pm\sqrt{21}}{2}$$;
б) $$x=\frac{-3\pm\sqrt5}{2},\ 1$$;
в) $$x=\frac{-5\pm\sqrt{13}}{2}$$;
г) $$x=\frac12,\ 2$$.
