Упр.29.27 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

а) Введём замену: $$x^2+x+1=a.$$ Тогда $$x^2+x+3=a+2,$$ и уравнение принимает вид
$$a=\frac{15}{a+2}.$$
Умножим на $$a+2$$:
$$a(a+2)=15$$
$$a^2+2a-15=0.$$
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-15)=64,$$
$$a_1=\frac{-2-8}{2}=-5,\qquad a_2=\frac{-2+8}{2}=3.$$
1) $$x^2+x+1=-5 \Rightarrow x^2+x+6=0,$$
$$D=1-24<0,$$ корней нет.
2) $$x^2+x+1=3 \Rightarrow x^2+x-2=0,$$
$$D=1+8=9,$$
$$x_1=\frac{-1-3}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{-1+3}{2}=1.$$
б) Введём замену: $$x^2-x=a.$$ Тогда $$x^2-x+1=a+1,$$ $$x^2-x-2=a-2,$$ и получаем
$$\frac{a}{a+1}-\frac{a+2}{a-2}=1.$$
Умножим на $$\left(a+1\right)\left(a-2\right):$$
$$a(a-2)-(a+2)(a+1)=\left(a+1\right)\left(a-2\right).$$
$$a^2-2a-a^2-3a-2=a^2-a-2,$$
$$-a^2-6a=0,$$
$$-a(a+6)=0.$$
Отсюда $$a=0$$ или $$a=-6.$$
1) $$x^2-x=0 \Rightarrow x(x-1)=0,$$ значит $$x=0$$ или $$x=1.$$
2) $$x^2-x=-6 \Rightarrow x^2-x+6=0,$$
$$D=1-24<0,$$ корней нет.
в) Введём замену: $$x^2+3x=a.$$ Тогда $$x^2+3x-2=a-2,$$ и уравнение имеет вид
$$a=\frac{8}{a-2}.$$
Умножим на $$a-2$$:
$$a(a-2)=8$$
$$a^2-2a-8=0.$$
$$D=4+32=36,$$
$$a_1=\frac{2-6}{2}=-2,\qquad a_2=\frac{2+6}{2}=4.$$
1) $$x^2+3x=-2 \Rightarrow x^2+3x+2=0,$$
$$D=9-8=1,$$
$$x_1=\frac{-3-1}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{-3+1}{2}=-1.$$
2) $$x^2+3x=4 \Rightarrow x^2+3x-4=0,$$
$$D=9+16=25,$$
$$x_3=\frac{-3-5}{2}=-4,\qquad x_4=\frac{-3+5}{2}=1.$$
г) Введём замену: $$x^2-3x+4=a.$$ Тогда $$x^2-3x+3=a-1,$$ $$x^2-3x+5=a+1,$$ и получаем
$$\frac{1}{a-1}+\frac{2}{a}=\frac{6}{a+1}.$$
Умножим на $$a(a-1)(a+1):$$
$$a(a+1)+2(a^2-1)=6a(a-1).$$
$$a^2+a+2a^2-2=6a^2-6a,$$
$$3a^2-7a+2=0.$$
$$D=49-24=25,$$
$$a_1=\frac{7-5}{6}=\frac13,\qquad a_2=\frac{7+5}{6}=2.$$
1) $$x^2-3x+4=\frac13 \Rightarrow 3x^2-9x+11=0,$$
$$D=81-132<0,$$ корней нет.
2) $$x^2-3x+4=2 \Rightarrow x^2-3x+2=0,$$
$$D=9-8=1,$$
$$x_1=\frac{3-1}{2}=1,\qquad x_2=\frac{3+1}{2}=2.$$