Упр.29.26 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

б) (x2+1)/x + x/(x2+1) = 2,9;
в) (x2 — 5x + 7)2 — (x — 2)(x — 3) = 1;
г) (x2+x-5)/x + 3x/(x2+x-5) + 4=0.

1. а) Введём замену:

   $$x^2-3x+1=a.$$

   Тогда

   $$a(a+2)=3,$$

   $$a^2+2a-3=0,$$

   $$D=4+12=16,$$

   $$a_1=-3,\quad a_2=1.$$

   1) $$x^2-3x+1=-3 \Rightarrow x^2-3x+4=0,$$

   $$D=9-16<0,$$

   корней нет.

   2) $$x^2-3x+1=1 \Rightarrow x^2-3x=0 \Rightarrow x(x-3)=0,$$

   $$x=0 \text{ или } x=3.$$

2. б) Введём замену:

   $$\frac{x^2+1}{x}=a,$$

   тогда

   $$a+\frac{1}{a}=2{,}9.$$

   Умножим на $$a$$:

   $$a^2-2{,}9a+1=0.$$

   Умножим на 10:

   $$10a^2-29a+10=0.$$

   $$D=29^2-4\cdot 10\cdot 10=441,$$

   $$a_1=\frac{29-21}{20}=\frac25,\quad a_2=\frac{29+21}{20}=\frac52.$$

   1) $$\frac{x^2+1}{x}=\frac25 \Rightarrow 5x^2-2x+5=0,$$

   $$D=4-100<0,$$

   корней нет.

   2) $$\frac{x^2+1}{x}=\frac52 \Rightarrow 2x^2-5x+2=0,$$

   $$D=25-16=9,$$

   $$x_1=\frac{5-3}{4}=\frac12,\quad x_2=\frac{5+3}{4}=2.$$

3. в) Введём замену:

   $$x^2-5x+7=a.$$

   Тогда

   $$a^2-(a-1)=1,$$

   $$a^2-a=0,$$

   $$a(a-1)=0,$$

   значит, $$a=0$$ или $$a=1.$$

   1) $$x^2-5x+7=0,$$

   $$D=25-28<0,$$

   корней нет.

   2) $$x^2-5x+7=1 \Rightarrow x^2-5x+6=0,$$

   $$D=25-24=1,$$

   $$x_1=\frac{5-1}{2}=2,\quad x_2=\frac{5+1}{2}=3.$$

4. г) Введём замену:

   $$\frac{x^2+x-5}{x}=a,$$

   тогда

   $$a+\frac{3}{a}+4=0.$$

   Умножим на $$a$$:

   $$a^2+4a+3=0,$$

   $$D=16-12=4,$$

   $$a_1=-3,\quad a_2=-1.$$

   1) $$\frac{x^2+x-5}{x}=-3 \Rightarrow x^2+4x-5=0,$$

   $$D=16+20=36,$$

   $$x_1=\frac{-4-6}{2}=-5,\quad x_2=\frac{-4+6}{2}=1.$$

   2) $$\frac{x^2+x-5}{x}=-1 \Rightarrow x^2+2x-5=0,$$

   $$D=4+20=24,$$

   $$x_{3,4}=\frac{-2\pm 2\sqrt6}{2}=-1\pm \sqrt6.$$

Ответ

а) $$x=0,\;3$$; б) $$x=\frac12,\;2$$; в) $$x=2,\;3$$; г) $$x=-5,\;1,\;-1\pm\sqrt6$$.