Упр.29.25 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. 26.25. Решите уравнение, используя метод введения новой переменной:
   а) $$48 — 14x^{-1} + x^{-2} = 0$$;
   б) $$9(x + 2)^{-2} — 6(x + 2)^{-1} + 1 = 0$$;
   в) $$24 — 10x^{-1} + x^{-2} = 0$$;
   г) $$16(x — 3)^{-2} + 8(x — 3)^{-1} + 1 = 0$$.

1. а) Введём новую переменную $$t=x^{-1}$$, тогда $$x^{-2}=t^2$$. Получаем:

   $$48-14t+t^2=0$$

   $$t^2-14t+48=0$$

   $$D=14^2-4\cdot 48=196-192=4$$

   $$t_{1,2}=\frac{14\pm 2}{2}$$

   $$t_1=6,\quad t_2=8$$

   Тогда:

   $$x^{-1}=6 \Rightarrow x=\frac16$$

   $$x^{-1}=8 \Rightarrow x=\frac18$$

2. б) Пусть $$t=(x+2)^{-1}$$, тогда $$(x+2)^{-2}=t^2$$. Получаем:

   $$9t^2-6t+1=0$$

   $$D=6^2-4\cdot 9\cdot 1=36-36=0$$

   $$t=\frac{6}{18}=\frac13$$

   Значит,

   $$(x+2)^{-1}=\frac13 \Rightarrow x+2=3 \Rightarrow x=1$$

3. в) Введём переменную $$t=x^{-1}$$, тогда $$x^{-2}=t^2$$. Получаем:

   $$24-10t+t^2=0$$

   $$t^2-10t+24=0$$

   $$D=10^2-4\cdot 24=100-96=4$$

   $$t_{1,2}=\frac{10\pm 2}{2}$$

   $$t_1=4,\quad t_2=6$$

   Тогда:

   $$x^{-1}=4 \Rightarrow x=\frac14$$

   $$x^{-1}=6 \Rightarrow x=\frac16$$

4. г) Пусть $$t=(x-3)^{-1}$$, тогда $$(x-3)^{-2}=t^2$$. Получаем:

   $$16t^2+8t+1=0$$

   $$D=8^2-4\cdot 16\cdot 1=64-64=0$$

   $$t=\frac{-8}{2\cdot 16}=-\frac14$$

   Значит,

   $$(x-3)^{-1}=-\frac14 \Rightarrow x-3=-4 \Rightarrow x=-1$$

Ответ

а) $$x=\frac16,\ \frac18$$; б) $$x=1$$; в) $$x=\frac14,\ \frac16$$; г) $$x=-1$$.