Упр.29.24 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

((xvx + yvy)/(vx + vy) — v(xy)) : (x — y) + (2v(xy))/(x — y).

$$ \left(\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\sqrt{xy}\right):(x-y)+\frac{2\sqrt{xy}}{x-y} $$

Сначала упростим выражение в скобках:

$$ \frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\sqrt{xy} = \frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}-\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} $$

$$ = \frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}-x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{x}(x-y)-\sqrt{y}(x-y)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} $$

$$ = \frac{(x-y)(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} $$

Теперь делим на $$x-y$$:

$$ \left(\frac{(x-y)(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right):(x-y) = \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} $$

Тогда всё выражение равно:

$$ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{2\sqrt{xy}}{x-y} $$

Приведём к общему знаменателю, учитывая, что
$$ x-y=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}). $$

$$ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{2\sqrt{xy}}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})} = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2+2\sqrt{xy}}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})} $$

$$ = \frac{x-2\sqrt{xy}+y+2\sqrt{xy}}{x-y} = \frac{x+y}{x-y} $$

Ответ

$$ \frac{x+y}{x-y} $$