Упр.29.24 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение $$\left(\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\sqrt{xy}\right):(x-y)+\frac{2\sqrt{xy}}{x-y}$$.

$$\left(\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\sqrt{xy}\right):(x-y)+\frac{2\sqrt{xy}}{x-y}$$

Сначала упростим выражение в скобках:

$$\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\sqrt{xy} = \frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}-\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$$

$$= \frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}-x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{x}(x-y)-\sqrt{y}(x-y)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$$

$$= \frac{(x-y)(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$$

Теперь делим на $$x-y$$:

$$\left(\frac{(x-y)(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right):(x-y) = \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$$

Тогда всё выражение равно:

$$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{2\sqrt{xy}}{x-y}$$

Приведём к общему знаменателю, учитывая, что
$$x-y=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}).$$

$$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{2\sqrt{xy}}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})} = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2+2\sqrt{xy}}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}$$

$$= \frac{x-2\sqrt{xy}+y+2\sqrt{xy}}{x-y} = \frac{x+y}{x-y}$$

Ответ

$$\frac{x+y}{x-y}$$