Упр.29.24 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Задача

б) (х2 — 4х + 4)2 + 2(х — 2)2 = 3;
в) (х2 — 3х)2 + 3(х2 — 3х) — 28 = 0;
г) 2(х2 + 2х + 1)2 — (х + 1)2 = 1.

Подробный ответ

$$\left(x^2-9\right)^2-8\left(x^2-9\right)+7=0$$
Сделаем замену: $$x^2-9=a.$$ Тогда
$$a^2-8a+7=0$$
$$D=64-28=36$$
$$a_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2}$$
$$a_1=1,\quad a_2=7$$
Возвращаемся к замене:
$$x^2-9=1 \Rightarrow x^2=10 \Rightarrow x=\pm\sqrt{10}$$
$$x^2-9=7 \Rightarrow x^2=16 \Rightarrow x=\pm 4$$
$$\left(x^2-4x+4\right)^2+2(x-2)^2=3$$
Заметим, что $$x^2-4x+4=(x-2)^2.$$ Тогда
$$\left(x^2-4x+4\right)^2+2\left(x^2-4x+4\right)-3=0$$
Сделаем замену: $$x^2-4x+4=a.$$ Получаем
$$a^2+2a-3=0$$
$$D=4+12=16$$
$$a_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2}$$
$$a_1=-3,\quad a_2=1$$
Так как $$a=(x-2)^2\ge 0,$$ значение $$a=-3$$ не подходит.
Остаётся:
$$x^2-4x+4=1$$
$$x^2-4x+3=0$$
$$D=16-12=4$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2}$$
$$x_1=1,\quad x_2=3$$
$$\left(x^2-3x\right)^2+3\left(x^2-3x\right)-28=0$$
Сделаем замену: $$x^2-3x=a.$$ Тогда
$$a^2+3a-28=0$$
$$D=9+112=121$$
$$a_{1,2}=\frac{-3\pm 11}{2}$$
$$a_1=-7,\quad a_2=4$$
Проверим:
$$x^2-3x=-7 \Rightarrow x^2-3x+7=0$$
$$D=9-28<0$$
Корней нет.
$$x^2-3x=4 \Rightarrow x^2-3x-4=0$$
$$\left(x-4\right)\left(x+1\right)=0$$
$$x=4 \text{ или } x=-1$$
$$2\left(x^2+2x+1\right)^2-\left(x+1\right)^2=1$$
Так как $$x^2+2x+1=(x+1)^2,$$ получаем
$$2\left(x^2+2x+1\right)^2-\left(x^2+2x+1\right)-1=0$$
Сделаем замену: $$x^2+2x+1=a.$$ Тогда
$$2a^2-a-1=0$$
$$D=1+8=9$$
$$a_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}$$
$$a_1=1,\quad a_2=-\frac12$$
Так как $$a=(x+1)^2\ge 0,$$ значение $$a=-\frac12$$ не подходит.
Остаётся:
$$x^2+2x+1=1$$
$$x^2+2x=0$$
$$x(x+2)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=-2$$