Упр.29.22 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

а) 3x^2 — 2х + 13 = 0; в) х^2 + 2х + 4 = 0;
б) -х^2 — 3х + 7 = 0; г) -2х^2 + 5х — 9 = 0.

Подробный ответ

а) Рассмотрим функцию $$y=3x^2-2x+13.$$
Так как $$a=3>0,$$ парабола направлена вверх.
Координата вершины:
$$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-2)}{2\cdot 3}=\frac13.$$
Найдём значение функции в вершине:
$$y_0=f\left(\frac13\right)=3\cdot \frac19-2\cdot \frac13+13=\frac13-\frac23+13=\frac{38}{3}.$$
Вершина параболы имеет координаты $$\left(\frac13;\frac{38}{3}\right).$$ Поскольку ветви направлены вверх, а наименьшее значение функции положительно, график не пересекает ось $$Ox.$$ Значит, уравнение не имеет корней.
б) В записанном решении есть противоречие: для уравнения $$-x^2-3x+7=0$$ парабола направлена вниз, но вершина имеет положительное значение, поэтому корни есть. Следовательно, утверждение «не имеет корней» для этого уравнения неверно.
Если же в условии имелось в виду $$-x^2-3x-7=0,$$ тогда:
$$y=-x^2-3x-7,$$
$$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-3)}{2\cdot(-1)}=-\frac32,$$
$$y_0=f\left(-\frac32\right)=-\left(-\frac32\right)^2-3\left(-\frac32\right)-7=-\frac94+\frac92-7=-\frac{25}{4}.$$
Так как ветви параболы направлены вниз и вершина лежит ниже оси $$Ox,$$ то корней нет.
в) Рассмотрим функцию $$y=x^2+2x+4.$$
Так как $$a=1>0,$$ парабола направлена вверх.
Координата вершины:
$$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-2}{2}=-1.$$
Найдём значение функции в вершине:
$$y_0=f(-1)=(-1)^2+2\cdot(-1)+4=1-2+4=3.$$
Вершина параболы $$(-1;3).$$ Так как наименьшее значение функции положительно, график не пересекает ось $$Ox.$$ Следовательно, уравнение не имеет корней.
г) Рассмотрим функцию $$y=-2x^2+5x-9.$$
Так как $$a=-2<0,$$ парабола направлена вниз.
Координата вершины:
$$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-5}{2\cdot(-2)}=\frac54.$$
Найдём значение функции в вершине:
$$y_0=f\left(\frac54\right)=-2\left(\frac54\right)^2+5\cdot\frac54-9=-2\cdot\frac{25}{16}+\frac{25}{4}-9$$
$$=-\frac{25}{8}+\frac{50}{8}-\frac{72}{8}=-\frac{47}{8}.$$
Вершина параболы $$\left(\frac54;-\frac{47}{8}\right).$$ Так как ветви направлены вниз и вершина лежит ниже оси $$Ox,$$ график не пересекает ось $$Ox.$$ Значит, уравнение не имеет корней.