Упр.29.21 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. $$\frac{x+1}{x^3-3x^2+x-3}+\frac{1}{x^4-1}=\frac{x-2}{x^3-3x^2-x+3}$$

   Разложим знаменатели на множители:
   $$x^3-3x^2+x-3=(x-3)(x^2+1),$$
   $$x^4-1=(x^2-1)(x^2+1),$$
   $$x^3-3x^2-x+3=(x-3)(x^2-1).$$

   Тогда
   $$\frac{x+1}{(x-3)(x^2+1)}+\frac{1}{(x^2-1)(x^2+1)}=\frac{x-2}{(x-3)(x^2-1)}.$$

   ОДЗ:
   $$x\neq 3,\quad x\neq \pm 1.$$

   Умножим уравнение на общий знаменатель $$(x-3)(x^2-1)(x^2+1)$$:
   $$ (x+1)(x^2-1)+(x-3)=(x-2)(x^2+1). $$

   Раскроем скобки:
   $$ x^3+x^2-x-1+x-3=x^3-2x^2+x-2. $$
   $$ x^3+x^2-4=x^3-2x^2+x-2. $$
   $$ 3x^2-x-2=0. $$

   $$ D=(-1)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=25, $$
   $$ x=\frac{1\pm 5}{6}. $$
   Получаем:
   $$x_1=-\frac{2}{3},\quad x_2=1.$$
   Значение $x=1$ не подходит по ОДЗ.

2. $$\frac{25}{4x^2+1}-\frac{8x+29}{16x^4-1}=\frac{18x+5}{8x^3+4x^2+2x+1}$$

   Разложим знаменатели:
   $$16x^4-1=(4x^2-1)(4x^2+1)=(2x-1)(2x+1)(4x^2+1),$$
   $$8x^3+4x^2+2x+1=(2x+1)(4x^2+1).$$

   ОДЗ:
   $$x\neq \pm \frac12.$$

   Умножим на общий знаменатель $$(4x^2+1)(2x-1)(2x+1)$$:
   $$ 25(2x-1)-(8x+29)=(18x+5)(2x-1). $$

   $$ 50x-25-8x-29=36x^2-18x+10x-5 $$
   $$ 42x-54=36x^2-8x-5 $$
   $$ 36x^2-50x+49=0. $$

   $$ D=(-50)^2-4\cdot 36\cdot 49=2500-7056=-4556<0. $$ Корней нет.

3. $$\frac{x^2-2x+4}{x^3-2x^2+4x-8}+\frac{x^2+2x+4}{x^3+2x^2+4x+8}=\frac{2x+2}{x^2-4}$$

   Разложим знаменатели:
   $$x^3-2x^2+4x-8=(x-2)(x^2+4),$$
   $$x^3+2x^2+4x+8=(x+2)(x^2+4),$$
   $$x^2-4=(x-2)(x+2).$$

   ОДЗ:
   $$x\neq \pm 2.$$

   Умножим на общий знаменатель $$(x-2)(x+2)(x^2+4)$$:
   $$ (x^2-2x+4)(x+2)+(x^2+2x+4)(x-2)=(2x+2)(x^2+4). $$

   Раскроем скобки:
   $$ x^3+2x^2-2x^2-4x+4x+8+x^3-2x^2+2x^2-4x+4x-8=2x^3+2x^2+8x+8. $$
   $$ 2x^3+8x=2x^3+2x^2+8x+8 $$
   $$ 2x^2+8=0 $$
   $$ x^2+4=0. $$

   Действительных корней нет.

4. $$\frac{5}{x^3-2x^2-2x+1}-\frac{2}{x^3-4x^2+4x-1}=\frac{1}{x^2-1}$$

   Разложим знаменатели:
   $$x^3-2x^2-2x+1=(x+1)(x^2-3x+1),$$
   $$x^3-4x^2+4x-1=(x-1)(x^2-3x+1),$$
   $$x^2-1=(x-1)(x+1).$$

   ОДЗ:
   $$x\neq \pm 1,\quad x^2-3x+1\neq 0.$$

   Умножим на общий знаменатель $$(x-1)(x+1)(x^2-3x+1)$$:
   $$ 5(x-1)-2(x+1)=x^2-3x+1. $$

   $$ 5x-5-2x-2=x^2-3x+1 $$
   $$ x^2-6x+8=0 $$
   $$ (x-2)(x-4)=0. $$

   Получаем:
   $$x=2,\quad x=4.$$
   Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ

а) $$x=-\frac{2}{3}$$;
б) корней нет;
в) корней нет;
г) $$x=2,\;4$$.