Упр.29.21 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. $$\frac{x+1}{x^3-3x^2+x-3}+\frac{1}{x^4-1}=\frac{x-2}{x^3-3x^2-x+3}$$

   Разложим знаменатели на множители:
   $$x^3-3x^2+x-3=(x-3)(x^2+1),$$
   $$x^4-1=(x^2-1)(x^2+1),$$
   $$x^3-3x^2-x+3=(x-3)(x^2-1).$$

   Тогда
   $$\frac{x+1}{(x-3)(x^2+1)}+\frac{1}{(x^2-1)(x^2+1)}=\frac{x-2}{(x-3)(x^2-1)}.$$

   ОДЗ:
   $$x\neq 3,\quad x\neq \pm 1.$$

   Умножим уравнение на общий знаменатель $$(x-3)(x^2-1)(x^2+1)$$:
   $$(x+1)(x^2-1)+(x-3)=(x-2)(x^2+1).$$

   Раскроем скобки:
   $$x^3+x^2-x-1+x-3=x^3-2x^2+x-2.$$
   $$x^3+x^2-4=x^3-2x^2+x-2.$$
   $$3x^2-x-2=0.$$

   $$D=(-1)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=25,$$
   $$x=\frac{1\pm 5}{6}.$$
   Получаем:
   $$x_1=-\frac{2}{3},\quad x_2=1.$$
   Значение $$x=1$$ не подходит по ОДЗ.

2. $$\frac{25}{4x^2+1}-\frac{8x+29}{16x^4-1}=\frac{18x+5}{8x^3+4x^2+2x+1}$$

   Разложим знаменатели:
   $$16x^4-1=(4x^2-1)(4x^2+1)=(2x-1)(2x+1)(4x^2+1),$$
   $$8x^3+4x^2+2x+1=(2x+1)(4x^2+1).$$

   ОДЗ:
   $$x\neq \pm \frac12.$$

   Умножим на общий знаменатель $$(4x^2+1)(2x-1)(2x+1)$$:
   $$25(2x-1)-(8x+29)=(18x+5)(2x-1).$$

   $$50x-25-8x-29=36x^2-18x+10x-5$$
   $$42x-54=36x^2-8x-5$$
   $$36x^2-50x+49=0.$$

   $$D=(-50)^2-4\cdot 36\cdot 49=2500-7056=-4556<0.$$ Корней нет.

3. $$\frac{x^2-2x+4}{x^3-2x^2+4x-8}+\frac{x^2+2x+4}{x^3+2x^2+4x+8}=\frac{2x+2}{x^2-4}$$

   Разложим знаменатели:
   $$x^3-2x^2+4x-8=(x-2)(x^2+4),$$
   $$x^3+2x^2+4x+8=(x+2)(x^2+4),$$
   $$x^2-4=(x-2)(x+2).$$

   ОДЗ:
   $$x\neq \pm 2.$$

   Умножим на общий знаменатель $$(x-2)(x+2)(x^2+4)$$:
   $$(x^2-2x+4)(x+2)+(x^2+2x+4)(x-2)=(2x+2)(x^2+4).$$

   Раскроем скобки:
   $$x^3+2x^2-2x^2-4x+4x+8+x^3-2x^2+2x^2-4x+4x-8=2x^3+2x^2+8x+8.$$
   $$2x^3+8x=2x^3+2x^2+8x+8$$
   $$2x^2+8=0$$
   $$x^2+4=0.$$

   Действительных корней нет.

4. $$\frac{5}{x^3-2x^2-2x+1}-\frac{2}{x^3-4x^2+4x-1}=\frac{1}{x^2-1}$$

   Разложим знаменатели:
   $$x^3-2x^2-2x+1=(x+1)(x^2-3x+1),$$
   $$x^3-4x^2+4x-1=(x-1)(x^2-3x+1),$$
   $$x^2-1=(x-1)(x+1).$$

   ОДЗ:
   $$x\neq \pm 1,\quad x^2-3x+1\neq 0.$$

   Умножим на общий знаменатель $$(x-1)(x+1)(x^2-3x+1)$$:
   $$5(x-1)-2(x+1)=x^2-3x+1.$$

   $$5x-5-2x-2=x^2-3x+1$$
   $$x^2-6x+8=0$$
   $$(x-2)(x-4)=0.$$

   Получаем:
   $$x=2,\quad x=4.$$
   Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ

а) $$x=-\frac{2}{3}$$;
б) корней нет;
в) корней нет;
г) $$x=2,\;4$$.