Упр.29.20 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. 26.20. Решите уравнение:

1. $$\frac{8}{16x^2-9}-\frac{8}{16x^2-24x+9}=\frac{1}{4x^2+3x}$$

   Разложим знаменатели на множители:
   $$16x^2-9=(4x-3)(4x+3), \quad 16x^2-24x+9=(4x-3)^2, \quad 4x^2+3x=x(4x+3).$$

   Тогда
   $$\frac{8}{(4x-3)(4x+3)}-\frac{8}{(4x-3)^2}=\frac{1}{x(4x+3)}.$$

   ОДЗ:
   $$x\ne 0,\quad x\ne \frac34,\quad x\ne -\frac34.$$

   Умножим уравнение на $$x(4x-3)^2(4x+3)$$:
   $$8x(4x-3)-8x(4x+3)=(4x-3)^2.$$

   $$32x^2-24x-32x^2-24x=16x^2-24x+9$$
   $$16x^2+24x+9=0.$$

   $$D=24^2-4\cdot 16\cdot 9=576-576=0,$$
   $$x=\frac{-24}{2\cdot 16}=-\frac34.$$

   Это значение не подходит по ОДЗ.

2. $$\frac{18}{4x^2+4x+1}-\frac{1}{2x^2-x}=\frac{6}{4x^2-1}$$

   Преобразуем знаменатели:
   $$4x^2+4x+1=(2x+1)^2,\quad 2x^2-x=x(2x-1),\quad 4x^2-1=(2x-1)(2x+1).$$

   Тогда
   $$\frac{18}{(2x+1)^2}-\frac{1}{x(2x-1)}=\frac{6}{(2x-1)(2x+1)}.$$

   ОДЗ:
   $$x\ne 0,\quad x\ne \frac12,\quad x\ne -\frac12.$$

   Умножим на $$x(2x+1)^2(2x-1)$$:
   $$18x(2x-1)-(2x+1)^2=6x(2x+1).$$

   $$36x^2-18x-4x^2-4x-1=12x^2+6x$$
   $$20x^2-28x-1=0.$$

   $$D=(-28)^2-4\cdot 20\cdot(-1)=784+80=864=144\cdot 6,$$
   $$\sqrt D=12\sqrt6.$$

   $$x=\frac{28\pm 12\sqrt6}{40}=\frac{7\pm 3\sqrt6}{10}.$$

3. $$\frac{x+3}{4x^2-9}-\frac{3-x}{4x^2+12x+9}=\frac{2}{2x-3}$$

   Разложим знаменатели:
   $$4x^2-9=(2x-3)(2x+3),\quad 4x^2+12x+9=(2x+3)^2.$$

   Тогда
   $$\frac{x+3}{(2x-3)(2x+3)}-\frac{3-x}{(2x+3)^2}=\frac{2}{2x-3}.$$

   ОДЗ:
   $$x\ne \frac32,\quad x\ne -\frac32.$$

   Умножим на $$(2x+3)^2(2x-3)$$:
   $$(x+3)(2x+3)-(3-x)(2x-3)=2(2x+3)^2.$$

   $$2x^2+3x+6x+9-6x+9+2x^2-3x=2(4x^2+12x+9)$$
   $$4x^2+18=8x^2+24x+18$$
   $$-4x^2-24x=0$$
   $$-4x(x+6)=0.$$

   $$x=0 \quad \text{или} \quad x=-6.$$

4. $$\frac{1+2x}{6x^2-3x}-\frac{2x-1}{14x^2+7x}=\frac{8}{12x^2-3}$$

   Преобразуем знаменатели:
   $$6x^2-3x=3x(2x-1),\quad 14x^2+7x=7x(2x+1),\quad 12x^2-3=3(4x^2-1)=3(2x-1)(2x+1).$$

   Тогда
   $$\frac{1+2x}{3x(2x-1)}-\frac{2x-1}{7x(2x+1)}=\frac{8}{3(2x-1)(2x+1)}.$$

   ОДЗ:
   $$x\ne 0,\quad x\ne \frac12,\quad x\ne -\frac12.$$

   Умножим на $$21x(4x^2-1)$$:
   $$7(1+2x)(2x+1)-3(2x-1)^2=56x.$$

   $$7(1+4x+4x^2)-3(4x^2-4x+1)=56x$$
   $$7+28x+28x^2-12x^2+12x-3=56x$$
   $$16x^2-16x+4=0$$
   $$4x^2-4x+1=0.$$

   $$D=(-4)^2-4\cdot 4\cdot 1=16-16=0,$$
   $$x=\frac{4}{2\cdot 4}=\frac12.$$

   Это значение не подходит по ОДЗ.

Ответ

а) корней нет;
б) $$x=\frac{7\pm 3\sqrt6}{10}$$;
в) $$x=0,\,-6$$;
г) корней нет.