Упр.29.19 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. $$\frac{8x+4}{x^3+1}+\frac{4}{x+1}=\frac{5x-1}{x^2-x+1}$$

   Разложим $$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$$. Тогда

   $$\frac{8x+4}{(x+1)(x^2-x+1)}+\frac{4}{x+1}=\frac{5x-1}{x^2-x+1}$$

   ОДЗ: $$x\neq -1$$.

   Умножим уравнение на $$x^3+1$$:

   $$8x+4+4(x^2-x+1)=(5x-1)(x+1)$$

   $$8x+4+4x^2-4x+4=5x^2+5x-x-1$$

   $$4x^2+4x+8-5x^2-4x+1=0$$

   $$-x^2+9=0$$

   $$x^2=9$$

   $$x=\pm 3$$

   Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

2. $$\frac{a^2+56}{a^3+8}+\frac{3a+2}{a^2-2a+4}=\frac{5}{a+2}$$

   Так как $$a^3+8=(a+2)(a^2-2a+4)$$, получаем

   $$\frac{a^2+56}{(a+2)(a^2-2a+4)}+\frac{3a+2}{a^2-2a+4}=\frac{5}{a+2}$$

   ОДЗ: $$a\neq -2$$.

   Умножим на $$a^3+8$$:

   $$a^2+56+(3a+2)(a+2)=5(a^2-2a+4)$$

   $$a^2+56+3a^2+8a+4=5a^2-10a+20$$

   $$-a^2+18a+40=0$$

   $$a^2-18a-40=0$$

   $$D=18^2+4\cdot 40=324+160=484$$

   $$a_{1,2}=\frac{18\pm 22}{2}$$

   $$a_1=20,\quad a_2=-2$$

   $$a=-2$$ не подходит по ОДЗ.

3. $$\frac{16-a^2}{8a^3+1}-\frac{2a+1}{4a^2-2a+1}=\frac{2}{2a+1}$$

   Так как $$8a^3+1=(2a+1)(4a^2-2a+1)$$, имеем

   $$\frac{16-a^2}{(2a+1)(4a^2-2a+1)}-\frac{2a+1}{4a^2-2a+1}=\frac{2}{2a+1}$$

   ОДЗ: $$a\neq -\frac12$$.

   Умножим на $$8a^3+1$$:

   $$16-a^2-(2a+1)^2=2(4a^2-2a+1)$$

   $$16-a^2-4a^2-4a-1=8a^2-4a+2$$

   $$-13a^2+13=0$$

   $$a^2=1$$

   $$a=\pm 1$$

   Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

4. $$\frac{x+3}{9x^2+3x+1}+\frac{3}{27x^3-1}=\frac{1}{3x-1}$$

   Так как $$27x^3-1=(3x-1)(9x^2+3x+1)$$, получаем

   $$\frac{x+3}{9x^2+3x+1}+\frac{3}{(3x-1)(9x^2+3x+1)}=\frac{1}{3x-1}$$

   ОДЗ: $$x\neq \frac13$$.

   Умножим на $$27x^3-1$$:

   $$(x+3)(3x-1)+3=9x^2+3x+1$$

   $$3x^2-x+9x-3+3=9x^2+3x+1$$

   $$-6x^2+5x-1=0$$

   $$6x^2-5x+1=0$$

   $$D=25-24=1$$

   $$x_{1,2}=\frac{5\pm 1}{12}$$

   $$x_1=\frac13,\quad x_2=\frac12$$

   $$x=\frac13$$ не подходит по ОДЗ.

Ответ

а) $$x=\pm 3$$; б) $$a=20$$; в) $$a=\pm 1$$; г) $$x=\frac12$$.