Упр.29.18 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) [3; 2v11]; в) [3; 2v11];
б) (-5; -v2]; г) [-5v7; -v73)?
Дана функция у = f(x), где f(x) = x^2 — 6х + р. Известно, что параметр р может принимать любые действительные значения. Сравните, если возможно:
а) f(2) и f(2,012); г) f(2) и f(1,998);
б) f(65/63) и f(63/65); д) f(49,7) и f(49,69);
в) f(-285) и f(-286); е) f(v5) и f(v7).

1) Найдём количество целых чисел в каждом промежутке.

а) $$[3; 2\sqrt{11}]$$

$$2\sqrt{11}=\sqrt{4\cdot 11}=\sqrt{44}, \quad \sqrt{36}<\sqrt{44}<\sqrt{49}$$

Значит, $$6<2\sqrt{11}<7.$$

В промежутке $$[3; 2\sqrt{11}]$$ лежат целые числа $$3,4,5,6.$$ Их четыре.

Ответ: 4.

б) $$(-5; -\sqrt{2}]$$

$$-\sqrt{4}<-\sqrt{2}<-\sqrt{1} \quad \Rightarrow \quad -2<-\sqrt{2}< -1.$$

Тогда в промежутке $$(-5; -\sqrt{2}]$$ лежат целые числа $$-4,-3,-2.$$ Их три.

Ответ: 3.

в) $$[3; 2\sqrt{11}]$$

Это тот же промежуток, что и в пункте а), поэтому целых чисел снова четыре: $$3,4,5,6.$$

Ответ: 4.

г) $$[-5\sqrt{7}; -\sqrt{73})$$

$$-5\sqrt{7}=-\sqrt{25\cdot 7}=-\sqrt{175}.$$

$$-\sqrt{196}<-\sqrt{175}<-\sqrt{169} \quad \Rightarrow \quad -14<-5\sqrt{7}<-13.$$

Также

$$-\sqrt{81}<-\sqrt{73}<-\sqrt{64} \quad \Rightarrow \quad -9<-\sqrt{73}<-8.$$

Значит, в промежутке $$[-5\sqrt{7}; -\sqrt{73})$$ лежат целые числа $$-13,-12,-11,-10,-9.$$ Их пять.

Ответ: 5.

2) Дана функция $$f(x)=x^2-6x+p.$$

Преобразуем:

$$f(x)=x^2-6x+p=(x-3)^2+p-9.$$

Парабола направлена ветвями вверх, значит, при удалении от точки $$x=3$$ значения функции возрастают. Поэтому сравниваем числа по их расстоянию до 3.

а) $$|2-3|=1,\quad |2{,}012-3|=0{,}988,$$ значит, $$f(2)>f(2{,}012).$$

б) $$\left|\frac{65}{63}-3\right|=\frac{124}{63}, \quad \left|\frac{63}{65}-3\right|=\frac{132}{65},$$ а $$\frac{124}{63}<\frac{132}{65},$$ значит, $$f\!\left(\frac{65}{63}\right)<f\!\left(\frac{63}{65}\right).$$

в) $$|-285-3|=288,\quad |-286-3|=289,$$ значит, $$f(-285)<f(-286).$$

г) $$|2-3|=1,\quad |1{,}998-3|=1{,}002,$$ значит, $$f(2)>f(1{,}998).$$

д) $$|49{,}7-3|=46{,}7,\quad |49{,}69-3|=46{,}69,$$ значит, $$f(49{,}7)>f(49{,}69).$$

е) $$|\sqrt{5}-3|=3-\sqrt{5},\quad |\sqrt{7}-3|=3-\sqrt{7},$$ а так как $$\sqrt{7}>\sqrt{5},$$ то $$3-\sqrt{7}<3-\sqrt{5}.$$ Следовательно, $$f(\sqrt{5})>f(\sqrt{7}).$$

Ответ

1) а) 4; б) 3; в) 4; г) 5.

2) а) $$f(2)>f(2{,}012)$$; б) $$f\!\left(\frac{65}{63}\right)<f\!\left(\frac{63}{65}\right)$$; в) $$f(-285)<f(-286)$$; г) $$f(2)>f(1{,}998)$$; д) $$f(49{,}7)>f(49{,}69)$$; е) $$f(\sqrt{5})>f(\sqrt{7})$$.