Упр.29.18 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- Сколько целых чисел принадлежит промежутку: а) $$[3; 2\sqrt{11}]$$; б) $$(-5; -\sqrt{2}]$$; в) $$[3; 2\sqrt{11}]$$; г) $$[-5\sqrt{7}; -\sqrt{73})$$?
- Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=x^2-6x+p$$. Известно, что параметр $$p$$ может принимать любые действительные значения. Сравните, если возможно: а) $$f(2)$$ и $$f(2{,}012)$$; б) $$f\left(\frac{65}{63}\right)$$ и $$f\left(\frac{63}{65}\right)$$; в) $$f(-285)$$ и $$f(-286)$$; г) $$f(2)$$ и $$f(1{,}998)$$; д) $$f(49{,}7)$$ и $$f(49{,}69)$$; е) $$f(\sqrt{5})$$ и $$f(\sqrt{7})$$.
1) Найдём количество целых чисел в каждом промежутке.
а) $$[3; 2\sqrt{11}]$$
$$2\sqrt{11}=\sqrt{4\cdot 11}=\sqrt{44}, \quad \sqrt{36}<\sqrt{44}<\sqrt{49}$$
Значит, $$6<2\sqrt{11}<7.$$
В промежутке $$[3; 2\sqrt{11}]$$ лежат целые числа $$3,4,5,6.$$ Их четыре.
Ответ: 4.
б) $$(-5; -\sqrt{2}]$$
$$-\sqrt{4}<-\sqrt{2}<-\sqrt{1} \quad \Rightarrow \quad -2<-\sqrt{2}< -1.$$
Тогда в промежутке $$(-5; -\sqrt{2}]$$ лежат целые числа $$-4,-3,-2.$$ Их три.
Ответ: 3.
в) $$[3; 2\sqrt{11}]$$
Это тот же промежуток, что и в пункте а), поэтому целых чисел снова четыре: $$3,4,5,6.$$
Ответ: 4.
г) $$[-5\sqrt{7}; -\sqrt{73})$$
$$-5\sqrt{7}=-\sqrt{25\cdot 7}=-\sqrt{175}.$$
$$-\sqrt{196}<-\sqrt{175}<-\sqrt{169} \quad \Rightarrow \quad -14<-5\sqrt{7}<-13.$$
Также
$$-\sqrt{81}<-\sqrt{73}<-\sqrt{64} \quad \Rightarrow \quad -9<-\sqrt{73}<-8.$$
Значит, в промежутке $$[-5\sqrt{7}; -\sqrt{73})$$ лежат целые числа $$-13,-12,-11,-10,-9.$$ Их пять.
Ответ: 5.
2) Дана функция $$f(x)=x^2-6x+p.$$
Преобразуем:
$$f(x)=x^2-6x+p=(x-3)^2+p-9.$$
Парабола направлена ветвями вверх, значит, при удалении от точки $$x=3$$ значения функции возрастают. Поэтому сравниваем числа по их расстоянию до 3.
а) $$|2-3|=1,\quad |2{,}012-3|=0{,}988,$$ значит, $$f(2)>f(2{,}012).$$
б) $$\left|\frac{65}{63}-3\right|=\frac{124}{63}, \quad \left|\frac{63}{65}-3\right|=\frac{132}{65},$$ а $$\frac{124}{63}<\frac{132}{65},$$ значит, $$f\!\left(\frac{65}{63}\right)<f\!\left(\frac{63}{65}\right).$$
в) $$|-285-3|=288,\quad |-286-3|=289,$$ значит, $$f(-285)<f(-286).$$
г) $$|2-3|=1,\quad |1{,}998-3|=1{,}002,$$ значит, $$f(2)>f(1{,}998).$$
д) $$|49{,}7-3|=46{,}7,\quad |49{,}69-3|=46{,}69,$$ значит, $$f(49{,}7)>f(49{,}69).$$
е) $$|\sqrt{5}-3|=3-\sqrt{5},\quad |\sqrt{7}-3|=3-\sqrt{7},$$ а так как $$\sqrt{7}>\sqrt{5},$$ то $$3-\sqrt{7}<3-\sqrt{5}.$$ Следовательно, $$f(\sqrt{5})>f(\sqrt{7}).$$
Ответ
1) а) 4; б) 3; в) 4; г) 5.
2) а) $$f(2)>f(2{,}012)$$; б) $$f\!\left(\frac{65}{63}\right)<f\!\left(\frac{63}{65}\right)$$; в) $$f(-285)<f(-286)$$; г) $$f(2)>f(1{,}998)$$; д) $$f(49{,}7)>f(49{,}69)$$; е) $$f(\sqrt{5})>f(\sqrt{7})$$.
