Упр.29.18 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)
$$\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x^2-2x}=\frac{8}{x^3-4x}$$
Разложим знаменатели на множители:
$$x^2-2x=x(x-2), \quad x^3-4x=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2).$$Тогда
$$\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x(x-2)}=\frac{8}{x(x-2)(x+2)}.$$
ОДЗ: $$x\neq -2,\; x\neq 0,\; x\neq 2.$$Умножим уравнение на $$x(x-2)(x+2)$$:
$$x(x-2)+(x+2)=8.$$
Получаем:
$$x^2-2x+x+2-8=0,$$
$$x^2-x-6=0.$$
$$(x-3)(x+2)=0.$$
С учётом ОДЗ подходит только $$x=3$$.$$\frac{2}{x^2-3x}-\frac{1}{x-3}=\frac{5}{x^3-9x}$$
Преобразуем:
$$x^2-3x=x(x-3), \quad x^3-9x=x(x^2-9)=x(x-3)(x+3).$$
Тогда
$$\frac{2}{x(x-3)}-\frac{1}{x-3}=\frac{5}{x(x-3)(x+3)}.$$
ОДЗ: $$x\neq 0,\; x\neq 3,\; x\neq -3.$$Умножим на $$x(x-3)(x+3)$$:
$$2(x+3)-x(x+3)=5.$$
$$2x+6-x^2-3x-5=0,$$
$$x^2+x-1=0.$$
$$D=1+4=5.$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}.$$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.$$\frac{7}{x+1}-\frac{x+4}{2-2x}=\frac{3x^2-38}{x^2-1}$$
Так как $$2-2x=2(1-x)=-2(x-1)$$, получаем:
$$\frac{7}{x+1}+\frac{x+4}{2(x-1)}=\frac{3x^2-38}{(x-1)(x+1)}.$$
ОДЗ: $$x\neq -1,\; x\neq 1.$$Умножим на $$2(x-1)(x+1)$$:
$$14(x-1)+(x+4)(x+1)=2(3x^2-38).$$
$$14x-14+x^2+5x+4=6x^2-76,$$
$$-5x^2+19x+66=0.$$
$$D=19^2-4\cdot(-5)\cdot 66=1681=41^2.$$
$$x_{1,2}=\frac{-19\pm 41}{-10}.$$
Отсюда
$$x_1=6,\quad x_2=-\frac{11}{5}=-2{,}2.$$
Оба значения подходят.$$\frac{2x-5}{x^2-3x}-\frac{x+2}{x^2+3x}+\frac{x-5}{x^2-9}=0$$
Разложим знаменатели:
$$x^2-3x=x(x-3), \quad x^2+3x=x(x+3), \quad x^2-9=(x-3)(x+3).$$
ОДЗ: $$x\neq 0,\; x\neq 3,\; x\neq -3.$$Умножим на $$x(x-3)(x+3)$$:
$$(2x-5)(x+3)-(x+2)(x-3)+(x-5)x=0.$$
Раскроем скобки:
$$2x^2+6x-5x-15-x^2+3x-2x+6+x^2-5x=0,$$
$$2x^2-3x-9=0.$$
$$D=9+72=81.$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 9}{4}.$$
Получаем:
$$x_1=-\frac{3}{2},\quad x_2=3.$$
Значение $$x=3$$ не подходит по ОДЗ, значит остаётся $$x=-\frac{3}{2}$$.
Ответ
а) $$x=3$$;
б) $$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$$;
в) $$x=-2{,}2,\; x=6$$;
г) $$x=-\frac{3}{2}$$.
