Упр.29.17 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) y = |x|/x (x — 2)^2;
б) y = (x — 2)/|2 — x| v(x + 4);
в) y = (x + 2)/|x + 2) (x^2 + 4x + 4);
г) y = (1 — x)/(x — 1) (x — 3)^2;
д) y = x/|x| v(x — 5);
е) y = |x — 3|/(x — 3) (x^2 — 10x + 25). Дана функция у = f(x), где f(x) = -х^2 + 4х + р. Найдите значение параметра р, если известно, что наибольшее значение функции у = f(x) равно 2. Постройте график функции у = f(x) при найденном значении параметра.

1. а) $$y=\frac{|x|}{x}(x-2)^2.$$

   Если $$x>0,$$ то $$\frac{|x|}{x}=1,$$ значит $$y=(x-2)^2.$$

   Если $$x<0,$$ то $$\frac{|x|}{x}=-1,$$ значит $$y=-(x-2)^2.$$

   Итак,

   $$ y= \begin{cases} (x-2)^2, & x>0,\\ -(x-2)^2, & x<0. \end{cases} $$

2. б) $$y=\frac{x-2}{|2-x|}\sqrt{x+4}.$$

   Так как $$|2-x|=|x-2|,$$ то при $$x>2$$ имеем $$\frac{x-2}{|x-2|}=1,$$ а при $$x<2$$ имеем $$\frac{x-2}{|x-2|}=-1.$$

   Кроме того, $$x+4\ge 0,$$ то есть $$x\ge -4.$$

   Следовательно,

   $$ y= \begin{cases} -\sqrt{x+4}, & -4\le x<2,\\ \sqrt{x+4}, & x>2. \end{cases} $$

3. в) $$y=\frac{x+2}{|x+2|}(x^2+4x+4).$$

   Заметим, что $$x^2+4x+4=(x+2)^2.$$ Тогда

   $$y=\frac{x+2}{|x+2|}(x+2)^2.$$

   Если $$x>-2,$$ то $$\frac{x+2}{|x+2|}=1,$$ значит $$y=(x+2)^2.$$

   Если $$x<-2,$$ то $$\frac{x+2}{|x+2|}=-1,$$ значит $$y=-(x+2)^2.$$

   Итак,

   $$ y= \begin{cases} (x+2)^2, & x>-2,\\ -(x+2)^2, & x<-2. \end{cases} $$

4. г) $$y=\frac{1-x}{x-1}(x-3)^2.$$

   Так как $$1-x=-(x-1),$$ то при $$x\ne 1$$

   $$\frac{1-x}{x-1}=-1.$$

   Если $$x<1,$$ то $$\frac{1-x}{x-1}=-1,$$ значит $$y=-(x-3)^2.$$

   Если $$x>1,$$ то $$\frac{1-x}{x-1}=1,$$ значит $$y=(x-3)^2.$$

   Следовательно,

   $$ y= \begin{cases} -(x-3)^2, & x<1,\\ (x-3)^2, & x>1. \end{cases} $$

5. д) $$y=\frac{x}{|x|}\sqrt{x-5}.$$

   Область определения: $$x-5\ge 0,$$ то есть $$x\ge 5.$$

   При $$x\ge 5$$ число $$x>0,$$ поэтому $$\frac{x}{|x|}=1.$$ Тогда

   $$y=\sqrt{x-5}, \quad x\ge 5.$$

6. е) $$y=\frac{|x-3|}{x-3}(x^2-10x+25).$$

   Заметим, что $$x^2-10x+25=(x-5)^2.$$ Тогда

   $$y=\frac{|x-3|}{x-3}(x-5)^2.$$

   Если $$x>3,$$ то $$\frac{|x-3|}{x-3}=1,$$ значит $$y=(x-5)^2.$$

   Если $$x<3,$$ то $$\frac{|x-3|}{x-3}=-1,$$ значит $$y=-(x-5)^2.$$

   Итак,

   $$ y= \begin{cases} (x-5)^2, & x>3,\\ -(x-5)^2, & x<3. \end{cases} $$

7. Параметр. $$f(x)=-x^2+4x+p.$$

   Это парабола, ветви которой направлены вниз. Координата вершины по оси $$x$$ равна

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2.$$

   Значит, наибольшее значение функции достигается в вершине. По условию оно равно $$2,$$ следовательно, вершина имеет координаты $$ (2;2). $$

   Подставим $$x=2$$ и $$y=2$$ в формулу:

   $$ 2=-2^2+4\cdot 2+p $$

   $$ 2=-4+8+p $$

   $$ 2=4+p $$

   $$ p=-2. $$

   Тогда функция имеет вид $$y=-x^2+4x-2.$$

   Её вершина: $$ (2;2), $$ ось симметрии: $$x=2.$$

Ответ

а) $$y= \begin{cases} (x-2)^2, & x>0,\\ -(x-2)^2, & x<0; \end{cases}$$
б) $$y= \begin{cases} -\sqrt{x+4}, & -4\le x<2,\\ \sqrt{x+4}, & x>2; \end{cases}$$
в) $$y= \begin{cases} (x+2)^2, & x>-2,\\ -(x+2)^2, & x<-2; \end{cases}$$
г) $$y= \begin{cases} -(x-3)^2, & x<1,\\ (x-3)^2, & x>1; \end{cases}$$
д) $$y=\sqrt{x-5}, \ x\ge 5;$$
е) $$y= \begin{cases} (x-5)^2, & x>3,\\ -(x-5)^2, & x<3; \end{cases}$$
$$p=-2.$$