Упр.29.17 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

26.17

1. а)
   $$\frac{5}{x-2}+1=\frac{14}{x^2-4x+4}$$
   Так как $$x^2-4x+4=(x-2)^2,$$ получаем ОДЗ: $$x\ne 2.$$

   Умножим обе части уравнения на $$ (x-2)^2 $$:
   $$ 5(x-2)+(x-2)^2=14 $$
   $$ 5x-10+x^2-4x+4-14=0 $$
   $$ x^2+x-20=0 $$
   $$ D=1+80=81 $$
   $$ x_{1,2}=\frac{-1\pm 9}{2} $$
   $$ x_1=-5,\quad x_2=4. $$
   Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

2. б)
   $$\frac{1}{3x+1}+\frac{1}{9x^2+6x+1}=2$$
   Так как $$9x^2+6x+1=(3x+1)^2,$$ то ОДЗ: $$3x+1\ne 0,$$ то есть $$x\ne -\frac13.$$

   Умножим уравнение на $$ (3x+1)^2 $$:
   $$ (3x+1)+1=2(3x+1)^2 $$
   $$ 3x+2=2(9x^2+6x+1) $$
   $$ 18x^2+9x=0 $$
   $$ 9x(2x+1)=0 $$
   $$ x=0 \quad \text{или} \quad x=-\frac12. $$
   Оба корня подходят.

3. в)
   $$\frac{2}{x-3}+1=\frac{15}{x^2-6x+9}$$
   Так как $$x^2-6x+9=(x-3)^2,$$ то ОДЗ: $$x\ne 3.$$

   Умножим на $$ (x-3)^2 $$:
   $$ 2(x-3)+(x-3)^2=15 $$
   $$ 2x-6+x^2-6x+9-15=0 $$
   $$ x^2-4x-12=0 $$
   $$ D=16+48=64 $$
   $$ x_{1,2}=\frac{4\pm 8}{2} $$
   $$ x_1=-2,\quad x_2=6. $$
   Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

4. г)
   $$\frac{2}{5x+1}+\frac{3}{25x^2+10x+1}=1$$
   Так как $$25x^2+10x+1=(5x+1)^2,$$ то ОДЗ: $$5x+1\ne 0,$$ то есть $$x\ne -\frac15.$$

   Умножим уравнение на $$ (5x+1)^2 $$:
   $$ 2(5x+1)+3=(5x+1)^2 $$
   $$ 10x+5=25x^2+10x+1 $$
   $$ 25x^2-4=0 $$
   $$ x^2=\frac{4}{25} $$
   $$ x=\pm \frac25. $$
   Оба корня подходят.

Ответ

а) $$x=-5,\ 4;$$
б) $$x=0,\ -\frac12;$$
в) $$x=-2,\ 6;$$
г) $$x=\pm \frac25.$$