Упр.29.17 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение.

1. а)
   $$\frac{5}{x-2}+1=\frac{14}{x^2-4x+4}$$
   Так как $$x^2-4x+4=(x-2)^2,$$ получаем ОДЗ: $$x\ne 2.$$

   Умножим обе части уравнения на $$(x-2)^2$$:
   $$5(x-2)+(x-2)^2=14$$
   $$5x-10+x^2-4x+4-14=0$$
   $$x^2+x-20=0$$
   $$D=1+80=81$$
   $$x_{1,2}=\frac{-1\pm 9}{2}$$
   $$x_1=-5,\quad x_2=4.$$
   Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

2. б)
   $$\frac{1}{3x+1}+\frac{1}{9x^2+6x+1}=2$$
   Так как $$9x^2+6x+1=(3x+1)^2,$$ то ОДЗ: $$3x+1\ne 0,$$ то есть $$x\ne -\frac13.$$

   Умножим уравнение на $$(3x+1)^2$$:
   $$(3x+1)+1=2(3x+1)^2$$
   $$3x+2=2(9x^2+6x+1)$$
   $$18x^2+9x=0$$
   $$9x(2x+1)=0$$
   $$x=0 \quad \text{или} \quad x=-\frac12.$$
   Оба корня подходят.

3. в)
   $$\frac{2}{x-3}+1=\frac{15}{x^2-6x+9}$$
   Так как $$x^2-6x+9=(x-3)^2,$$ то ОДЗ: $$x\ne 3.$$

   Умножим на $$(x-3)^2$$:
   $$2(x-3)+(x-3)^2=15$$
   $$2x-6+x^2-6x+9-15=0$$
   $$x^2-4x-12=0$$
   $$D=16+48=64$$
   $$x_{1,2}=\frac{4\pm 8}{2}$$
   $$x_1=-2,\quad x_2=6.$$
   Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

4. г)
   $$\frac{2}{5x+1}+\frac{3}{25x^2+10x+1}=1$$
   Так как $$25x^2+10x+1=(5x+1)^2,$$ то ОДЗ: $$5x+1\ne 0,$$ то есть $$x\ne -\frac15.$$

   Умножим уравнение на $$(5x+1)^2$$:
   $$2(5x+1)+3=(5x+1)^2$$
   $$10x+5=25x^2+10x+1$$
   $$25x^2-4=0$$
   $$x^2=\frac{4}{25}$$
   $$x=\pm \frac25.$$
   Оба корня подходят.

Ответ

а) $$x=-5,\ 4;$$
б) $$x=0,\ -\frac12;$$
в) $$x=-2,\ 6;$$
г) $$x=\pm \frac25.$$