Упр.29.15 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- Решите графически систему уравнений:
а) $$\begin{cases} y=2(x-2)^2, \\ y=-2x; \end{cases}$$
б) $$\begin{cases} y=-(x+1)^2, \\ y=x+2; \end{cases}$$
в) $$\begin{cases} y=v(x+2), \\ y=\frac{1}{8}(x+2)^2; \end{cases}$$
г) $$\begin{cases} y=2(x+1)^2, \\ y=0{,}5x; \end{cases}$$
д) $$\begin{cases} y=-(x+3)^2, \\ y=x-3; \end{cases}$$
е) $$\begin{cases} y=v(x+3), \\ y=-2x+6. \end{cases}$$ - а) Найдите значение коэффициента $$a$$, если известно, что прямая $$x=2$$ является осью симметрии графика функции $$y=ax^2-(a+6)x+9$$.
б) При каком значении коэффициента $$c$$ вершина параболы $$y=x^2+6x+c$$ находится на расстоянии 5 от начала координат?
в) При каких значениях коэффициентов $$b$$ и $$c$$ точка $$A(1;-2)$$ является вершиной параболы $$y=x^2+bx+c$$?
г) При каких значениях коэффициентов $$b$$ и $$c$$ график функции $$y=x^2+bx+c$$ проходит через точки $$A(1;6)$$ и $$B(-1;2)$$?
а) Найдём точки пересечения графиков:
$$2(x-2)^2=-2x$$
$$(x-2)^2=-x$$
$$x^2-4x+4=-x$$
$$x^2-3x+4=0$$
$$D= (-3)^2-4\cdot 1\cdot 4=9-16=-7<0$$
Решений нет.
б)
$$-(x+1)^2=x+2$$
$$x^2+2x+1+x+2=0$$
$$x^2+3x+3=0$$
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot 3=9-12=-3<0$$
Решений нет.
в)
$$\sqrt{x+2}=\frac18(x+2)^2$$
Положим $$t=\sqrt{x+2}$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$x+2=t^2$$.
Получаем:
$$t=\frac18 t^4$$
$$t^4-8t=0$$
$$t(t^3-8)=0$$
$$t=0 \text{ или } t=2$$
Тогда:
$$t=0 \Rightarrow x+2=0 \Rightarrow x=-2,\quad y=0$$
$$t=2 \Rightarrow x+2=4 \Rightarrow x=2,\quad y=2$$
г)
$$2(x+1)^2=0{,}5x$$
$$4(x+1)^2=x$$
$$4x^2+8x+4=x$$
$$4x^2+7x+4=0$$
$$D=7^2-4\cdot 4\cdot 4=49-64=-15<0$$
Решений нет.
д)
$$-(x+3)^2=x-3$$
$$x^2+6x+9+x-3=0$$
$$x^2+7x+6=0$$
$$(x+1)(x+6)=0$$
$$x=-1 \text{ или } x=-6$$
Тогда:
$$x=-1 \Rightarrow y=-4$$
$$x=-6 \Rightarrow y=-9$$
е)
$$\sqrt{x+3}=-2x+6$$
Область определения и условие неотрицательности правой части:
$$x+3\ge 0,\quad -2x+6\ge 0$$
$$x\ge -3,\quad x\le 3$$
Возведём в квадрат:
$$x+3=( -2x+6)^2$$
$$x+3=4x^2-24x+36$$
$$4x^2-25x+33=0$$
$$D=25^2-4\cdot 4\cdot 33=625-528=97$$
$$x=\frac{25\pm \sqrt{97}}{8}$$
Из них условию $$x\le 3$$ удовлетворяют оба корня, и соответствующие значения $$y$$ равны:
$$y=-2x+6$$
$$\left(\frac{25-\sqrt{97}}{8},\ \frac{-1+\sqrt{97}}{4}\right),\quad \left(\frac{25+\sqrt{97}}{8},\ \frac{-1-\sqrt{97}}{4}\right)$$
а) Для функции $$y=ax^2-(a+6)x+9$$ ось симметрии имеет уравнение
$$x=\frac{a+6}{2a}$$
По условию $$x=2$$, значит
$$\frac{a+6}{2a}=2$$
$$a+6=4a$$
$$3a=6$$
$$a=2$$
б) Для параболы $$y=x^2+6x+c$$ вершина имеет абсциссу
$$x_0=-\frac{6}{2}=-3$$
Ордината вершины:
$$y_0=f(-3)=9-18+c=c-9$$
Расстояние от начала координат до вершины равно 5:
$$(-3)^2+(c-9)^2=5^2$$
$$9+(c-9)^2=25$$
$$(c-9)^2=16$$
$$c-9=\pm 4$$
$$c=5 \text{ или } c=13$$
в) Для функции $$y=x^2+bx+c$$ вершина $$A(1;-2)$$.
Абсцисса вершины:
$$-\frac{b}{2}=1$$
$$b=-2$$
Подставим точку $$A(1;-2)$$ в уравнение:
$$-2=1^2+(-2)\cdot 1+c$$
$$-2=1-2+c$$
$$c=-1$$
г) Точки $$A(1;6)$$ и $$B(-1;2)$$ лежат на графике $$y=x^2+bx+c$$.
Составим систему:
$$\begin{cases} 6=1+b+c,\\ 2=1-b+c \end{cases}$$
$$\begin{cases} b+c=5,\\ -b+c=1 \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$2c=6$$
$$c=3$$
Тогда
$$b+3=5$$
$$b=2$$
Ответ
а) решений нет; б) решений нет; в) $$(-2;0)$$ и $$\left(2;2\right)$$; г) решений нет; д) $$(-6;-9)$$ и $$(-1;-4)$$; е) $$\left(\frac{25-\sqrt{97}}{8};\frac{-1+\sqrt{97}}{4}\right)$$ и $$\left(\frac{25+\sqrt{97}}{8};\frac{-1-\sqrt{97}}{4}\right)$$; а) $$a=2$$; б) $$c=5$$ или $$c=13$$; в) $$b=-2,\ c=-1$$; г) $$b=2,\ c=3$$.
