Упр.29.14 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Постройте график функции у = f(x). Укажите, при каких значениях параметра р уравнение f(x) = р:
а) имеет один корень;
б) имеет два корня;
в) не имеет корней. Постройте и прочитайте график функции у = f(х), где
f(x) = {2х^2 + 4х — 1, если -2 ? x < 0; х - 1, если х ? 0}.

1) Рассмотрим функцию

$$ f(x)= \begin{cases} \sqrt{x+3}, & -3\le x\le 1,\\ 2(x-1)^2, & 1<x\le 3. \end{cases} $$

На отрезке $$[-3;1]$$ строим график $$y=\sqrt{x+3}$$. Его удобные точки:

$$(-3;0),\;(-2;1),\;(-1;\sqrt2),\;(1;2).$$

На промежутке $$1<x\le 3$$ строим график $$y=2(x-1)^2$$. Удобные точки:

$$\left(1;0\right)\text{ — выколотая точка},\;(2;2),\;(3;8).$$

Теперь определим, при каких значениях $$p$$ уравнение $$f(x)=p$$ имеет нужное число корней.

Для первой части $$y=\sqrt{x+3}$$ значения функции лежат в промежутке $$[0;2]$$.

Для второй части $$y=2(x-1)^2$$ при $$1<x\le 3$$ значения функции лежат в промежутке $$0<y\le 8$$.

Тогда:

• при $$p=0$$ корень один: $$x=-3$$;
• при $$0<p\le 2$$ уравнение имеет два корня;
• при $$2<p\le 8$$ уравнение имеет один корень;
• при $$p<0$$ или $$p>8$$ корней нет.

2) Рассмотрим функцию

$$ f(x)= \begin{cases} 2x^2+4x-1, & -2\le x<0,\\ x-1, & x\ge 0. \end{cases} $$

Для первой части:

$$ 2x^2+4x-1=2(x+1)^2-3. $$

Это парабола с вершиной $$(-1;-3)$$. На отрезке $$[-2;0)$$ получаем точки:

$$(-2;-1),\;(-1;-3),\;(0;-1).$$

Для второй части строим прямую $$y=x-1$$ при $$x\ge 0$$. Она проходит через точки $$ (0;-1),\;(1;0),\;(2;1)$$.

Область определения функции: $$[-2;+\infty)$$.

Нули функции:

$$ 2x^2+4x-1=0 \quad \text{на } [-2;0) $$

и

$$ x-1=0 \Rightarrow x=1. $$

Из графика и формул получаем:

• $$f(x)<0$$ при $$x\in[-2;1)$$;
• $$f(x)=0$$ при $$x=1$$;
• $$f(x)>0$$ при $$x>1$$.

Функция убывает на $$[-2;-1]$$ и возрастает на $$[-1;+\infty)$$.

Наименьшее значение равно $$-3$$, наибольшего значения нет.

Область значений: $$[-3;+\infty)$$.

Ответ

1) $$f(x)=p$$ имеет:

а) один корень при $$p=0$$ и $$2<p\le 8$$;

б) два корня при $$0<p\le 2$$;

в) не имеет корней при $$p<0$$ и $$p>8$$.

2) $$D(f)=[-2;+\infty)$$, $$f(x)=0$$ при $$x=1$$, $$f(x)<0$$ при $$x\in[-2;1)$$, $$f(x)>0$$ при $$x>1$$, $$E(f)=[-3;+\infty)$$.