Упр.29.13 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) Найдите f(-3), f(-2,8), f(3,84), f(0), f(1), f(5), f(v144).
б) Постройте график функции.
в) При каких значениях х выполняется равенство f(x) = 0, f(x) = 2, f(x) = 3? Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
а) у = x^2 — 6х + 5 на отрезке [2; 5];
б) у = 2х^2 + 4х — 1 на луче [-2; +?);
в) у = -1/2 х^2 + 4х + 3 на полуинтервале [0; 5);
г) у = —х^2 + 2х + 3 на отрезке [1; 2];
д) y = -2х^2 + 8х — 3 на луче (-?; 3];
е) y = 3х^2 — 12х + 1 на полуинтервале (1; 4].

Дана функция

$$ f(x)= \begin{cases} \frac12 x, & -3\le x\le 1,\\ \sqrt{x+1}, & 1<x\le 8. \end{cases} $$

а) Найдём значения функции:

$$ f(-3)=\frac12\cdot(-3)=-1{,}5 $$

$$ f(-2{,}8)=\frac12\cdot(-2{,}8)=-1{,}4 $$

$$ f(3{,}84)=\sqrt{3{,}84+1}=\sqrt{4{,}84}=2{,}2 $$

$$ f(0)=\frac12\cdot 0=0 $$

$$ f(1)=\frac12\cdot 1=\frac12 $$

$$ f(5)=\sqrt{5+1}=\sqrt6 $$

$$ f(\sqrt{144})=f(12) $$

Так как $$12>8$$, то $$f(12)$$ не существует.

б) График состоит из двух частей:

• отрезок прямой $$y=\frac12x$$ при $$-3\le x\le 1$$;
• ветвь графика $$y=\sqrt{x+1}$$ при $$1<x\le 8$$.

Ключевые точки: $$(-3;-1{,}5)$$, $$\left(1;\frac12\right)$$ для первой части; $$\left(1;\sqrt2\right)$$ — выколотая точка, $$\left(8;3\right)$$ — конечная точка второй части.

в) Решим уравнения:

$$ f(x)=0 $$

На первой части $$\frac12x=0$$, откуда $$x=0$$. На второй части $$\sqrt{x+1}=0$$ решений нет, так как $$x+1>0$$ при $$1<x\le 8$$.

$$ f(x)=2 $$

На первой части $$\frac12x=2$$, откуда $$x=4$$, но это не входит в промежуток $$[-3;1]$$. На второй части

$$ \sqrt{x+1}=2 \Rightarrow x+1=4 \Rightarrow x=3. $$

$$ f(x)=3 $$

На первой части $$\frac12x=3$$, откуда $$x=6$$, но это не входит в $$[-3;1]$$. На второй части

$$ \sqrt{x+1}=3 \Rightarrow x+1=9 \Rightarrow x=8. $$

г) Найдём наибольшее и наименьшее значения функций.

1) $$y=x^2-6x+5$$ на $$[2;5]$$.

$$ y=(x-3)^2-4 $$

Вершина параболы: $$x=3$$, $$y=-4$$. Проверим концы отрезка:

$$ y(2)=4-12+5=-3,\qquad y(5)=25-30+5=0. $$

Значит, $$y_{\min}=-4$$, $$y_{\max}=0$$.

2) $$y=2x^2+4x-1$$ на $$[-2;+\infty)$$.

$$ y=2(x+1)^2-3 $$

Вершина: $$(-1;-3)$$. Так как ветви направлены вверх, то

$$ y_{\min}=-3, $$

а наибольшего значения на луче нет.

3) $$y=-\frac12x^2+4x+3$$ на $$[0;5)$$.

$$ y=-\frac12(x-4)^2+11 $$

Вершина: $$ (4;11) $$, значит $$y_{\max}=11$$. Наименьшее значение на данном промежутке достигается при $$x=0$$:

$$ y(0)=3. $$

Следовательно, $$y_{\min}=3$$.

4) $$y=-x^2+2x+3$$ на $$[1;2]$$.

$$ y=-(x-1)^2+4 $$

Вершина: $$ (1;4) $$, значит $$y_{\max}=4$$. На другом конце отрезка:

$$ y(2)=-4+4+3=3. $$

Следовательно, $$y_{\min}=3$$.

5) $$y=-2x^2+8x-3$$ на $$(-\infty;3]$$.

$$ y=-2(x-2)^2+5 $$

Вершина: $$ (2;5) $$, значит $$y_{\max}=5$$. При $$x\to -\infty$$ значение функции неограниченно убывает, поэтому наименьшего значения нет.

6) $$y=3x^2-12x+1$$ на $$ (1;4] $$.

$$ y=3(x-2)^2-11 $$

Вершина: $$ (2;-11) $$, значит $$y_{\min}=-11$$. Наибольшее значение на данном промежутке достигается при $$x=4$$:

$$ y(4)=3\cdot 16-12\cdot 4+1=1. $$

Следовательно, $$y_{\max}=1$$.

Ответ

а) $$f(-3)=-1{,}5$$, $$f(-2{,}8)=-1{,}4$$, $$f(3{,}84)=2{,}2$$, $$f(0)=0$$, $$f(1)=\frac12$$, $$f(5)=\sqrt6$$, $$f(\sqrt{144})$$ не существует.

в) $$f(x)=0$$ при $$x=0$$; $$f(x)=2$$ при $$x=3$$; $$f(x)=3$$ при $$x=8$$.

г) а) $$y_{\max}=0$$, $$y_{\min}=-4$$; б) $$y_{\min}=-3$$, $$y_{\max}$$ не существует; в) $$y_{\max}=11$$, $$y_{\min}=3$$; г) $$y_{\max}=4$$, $$y_{\min}=3$$; д) $$y_{\max}=5$$, $$y_{\min}$$ не существует; е) $$y_{\max}=1$$, $$y_{\min}=-11$$.