Упр.29.13 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года. Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}x, & \text{если } -3\leq x\leq 1;\\ \sqrt{x+1}, & \text{если } 1
б) Постройте график функции.
в) При каких значениях $$x$$ выполняется равенство $$f(x)=0$$, $$f(x)=2$$, $$f(x)=3$$? - Задание учебника 2019 года. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
а) $$y=x^2-6x+5$$ на отрезке $$[2;5]$$;
б) $$y=2x^2+4x-1$$ на луче $$[-2;+\infty)$$;
в) $$y=-\frac{1}{2}x^2+4x+3$$ на полуинтервале $$[0;5)$$;
г) $$y=-x^2+2x+3$$ на отрезке $$[1;2]$$;
д) $$y=-2x^2+8x-3$$ на луче $$(-\infty;3]$$;
е) $$y=3x^2-12x+1$$ на полуинтервале $$(1;4]$$.
Дана функция
$$f(x)= \begin{cases} \frac12 x, & -3\le x\le 1,\\ \sqrt{x+1}, & 1<x\le 8. \end{cases}$$
а) Найдём значения функции:
$$f(-3)=\frac12\cdot(-3)=-1{,}5$$
$$f(-2{,}8)=\frac12\cdot(-2{,}8)=-1{,}4$$
$$f(3{,}84)=\sqrt{3{,}84+1}=\sqrt{4{,}84}=2{,}2$$
$$f(0)=\frac12\cdot 0=0$$
$$f(1)=\frac12\cdot 1=\frac12$$
$$f(5)=\sqrt{5+1}=\sqrt6$$
$$f(\sqrt{144})=f(12)$$
Так как $$12>8$$, то $$f(12)$$ не существует.
б) График состоит из двух частей:
- отрезок прямой $$y=\frac12x$$ при $$-3\le x\le 1$$;
- ветвь графика $$y=\sqrt{x+1}$$ при $$1<x\le 8$$.
Ключевые точки: $$(-3;-1{,}5)$$, $$\left(1;\frac12\right)$$ для первой части; $$\left(1;\sqrt2\right)$$ — выколотая точка, $$\left(8;3\right)$$ — конечная точка второй части.
в) Решим уравнения:
$$f(x)=0$$
На первой части $$\frac12x=0$$, откуда $$x=0$$. На второй части $$\sqrt{x+1}=0$$ решений нет, так как $$x+1>0$$ при $$1<x\le 8$$.
$$f(x)=2$$
На первой части $$\frac12x=2$$, откуда $$x=4$$, но это не входит в промежуток $$[-3;1]$$. На второй части
$$\sqrt{x+1}=2 \Rightarrow x+1=4 \Rightarrow x=3.$$
$$f(x)=3$$
На первой части $$\frac12x=3$$, откуда $$x=6$$, но это не входит в $$[-3;1]$$. На второй части
$$\sqrt{x+1}=3 \Rightarrow x+1=9 \Rightarrow x=8.$$
г) Найдём наибольшее и наименьшее значения функций.
1) $$y=x^2-6x+5$$ на $$[2;5]$$.
$$y=(x-3)^2-4$$
Вершина параболы: $$x=3$$, $$y=-4$$. Проверим концы отрезка:
$$y(2)=4-12+5=-3,\qquad y(5)=25-30+5=0.$$
Значит, $$y_{\min}=-4$$, $$y_{\max}=0$$.
2) $$y=2x^2+4x-1$$ на $$[-2;+\infty)$$.
$$y=2(x+1)^2-3$$
Вершина: $$(-1;-3)$$. Так как ветви направлены вверх, то
$$y_{\min}=-3,$$
а наибольшего значения на луче нет.
3) $$y=-\frac12x^2+4x+3$$ на $$[0;5)$$.
$$y=-\frac12(x-4)^2+11$$
Вершина: $$(4;11)$$, значит $$y_{\max}=11$$. Наименьшее значение на данном промежутке достигается при $$x=0$$:
$$y(0)=3.$$
Следовательно, $$y_{\min}=3$$.
4) $$y=-x^2+2x+3$$ на $$[1;2]$$.
$$y=-(x-1)^2+4$$
Вершина: $$(1;4)$$, значит $$y_{\max}=4$$. На другом конце отрезка:
$$y(2)=-4+4+3=3.$$
Следовательно, $$y_{\min}=3$$.
5) $$y=-2x^2+8x-3$$ на $$(-\infty;3]$$.
$$y=-2(x-2)^2+5$$
Вершина: $$(2;5)$$, значит $$y_{\max}=5$$. При $$x\to -\infty$$ значение функции неограниченно убывает, поэтому наименьшего значения нет.
6) $$y=3x^2-12x+1$$ на $$(1;4]$$.
$$y=3(x-2)^2-11$$
Вершина: $$(2;-11)$$, значит $$y_{\min}=-11$$. Наибольшее значение на данном промежутке достигается при $$x=4$$:
$$y(4)=3\cdot 16-12\cdot 4+1=1.$$
Следовательно, $$y_{\max}=1$$.
Ответ
а) $$f(-3)=-1{,}5$$, $$f(-2{,}8)=-1{,}4$$, $$f(3{,}84)=2{,}2$$, $$f(0)=0$$, $$f(1)=\frac12$$, $$f(5)=\sqrt6$$, $$f(\sqrt{144})$$ не существует.
в) $$f(x)=0$$ при $$x=0$$; $$f(x)=2$$ при $$x=3$$; $$f(x)=3$$ при $$x=8$$.
г) а) $$y_{\max}=0$$, $$y_{\min}=-4$$; б) $$y_{\min}=-3$$, $$y_{\max}$$ не существует; в) $$y_{\max}=11$$, $$y_{\min}=3$$; г) $$y_{\max}=4$$, $$y_{\min}=3$$; д) $$y_{\max}=5$$, $$y_{\min}$$ не существует; е) $$y_{\max}=1$$, $$y_{\min}=-11$$.
