Упр.29.13 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

б) При каких значениях переменной разность дробей (1-3x)/ (4x-3) и (x+5)/(x+2) равна их произведению?

а) Рассмотрим уравнение

$$\frac{x+7}{x-2}+\frac{x-1}{x+2}=1.$$

ОДЗ: $$x\neq 2,\; x\neq -2.$$

Умножим обе части на $$x^2-4=(x-2)(x+2)$$:

$$ (x+7)(x+2)+(x-1)(x-2)=x^2-4. $$

Раскроем скобки:

$$x^2+9x+14+x^2-3x+2=x^2-4,$$

$$x^2+6x+20=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=6^2-4\cdot 1\cdot 20=36-80=-44<0.$$

Действительных корней нет, значит, таких значений переменной не существует.

б) Рассмотрим уравнение

$$\frac{1-3x}{4x-3}-\frac{x+5}{x+2}=\frac{(1-3x)(x+5)}{(4x-3)(x+2)}.$$

ОДЗ: $$4x-3\neq 0,\; x+2\neq 0,$$ то есть $$x\neq \frac34,\; x\neq -2.$$

Умножим обе части на $$ (4x-3)(x+2) $$:

$$ (1-3x)(x+2)-(x+5)(4x-3)=(1-3x)(x+5). $$

Раскроем скобки и приведём подобные:

$$1-3x+2-6x-4x^2-20x+15= x+5-3x^2-15x,$$

$$-4x^2-8x+12=0.$$

Разделим на $$-4$$:

$$x^2+2x-3=0.$$

Разложим на множители:

$$ (x+3)(x-1)=0. $$

Отсюда

$$x=-3 \quad \text{или} \quad x=1.$$

Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ

а) Не существует.
б) $$x=-3,\; 1.$$