Упр.29.12 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. Решите графически уравнение:

   а) $$|x-2|=x^2$$; г) $$|x-3|=\sqrt{x-1}$$; б) $$\sqrt{x+3}=-x-1$$; д) $$\sqrt{x-2}=x-4$$; в) $$(x-1)^2=|x-3|$$; е) $$|x+1|=\sqrt{x+3}$$.

2. Постройте график функции:

   а) $$y=(x-3)(x+1)$$; г) $$y=(4-x)(x-8)$$; б) $$y=-3x(x-2)$$; д) $$y=4x(x+2)$$; в) $$y=-(x+2)^2-2x+2$$; е) $$y=8x-(x+3)^2$$.

1. а) $$|x-2|=x^2$$

   Рассмотрим графики функций $$y=|x-2|$$ и $$y=x^2$$. Точки их пересечения дают решения уравнения.

   Из графика получаем: $$x=-2$$ и $$x=1$$.

2. б) $$\sqrt{x+3}=-x-1$$

   Область определения: $$x+3\ge 0$$, то есть $$x\ge -3$$. Кроме того, правая часть неотрицательна: $$-x-1\ge 0$$, значит $$x\le -1$$.

   По графику функций $$y=\sqrt{x+3}$$ и $$y=-x-1$$ получаем единственную точку пересечения: $$x=-2$$.

3. в) $$(x-1)^2=|x-3|$$

   Рассмотрим графики функций $$y=(x-1)^2$$ и $$y=|x-3|$$. Их точки пересечения дают решения уравнения.

   Из графика: $$x=-1$$ и $$x=2$$.

4. г) $$|x-3|=\sqrt{x-1}$$

   Область определения: $$x-1\ge 0$$, то есть $$x\ge 1$$.

   По графику функций $$y=|x-3|$$ и $$y=\sqrt{x-1}$$ получаем решения: $$x=2$$ и $$x=5$$.

5. д) $$\sqrt{x-2}=x-4$$

   Область определения: $$x\ge 2$$, а также $$x-4\ge 0$$, значит $$x\ge 4$$.

   По графику функций $$y=\sqrt{x-2}$$ и $$y=x-4$$ получаем: $$x=6$$.

6. е) $$|x+1|=\sqrt{x+3}$$

   Область определения: $$x+3\ge 0$$, то есть $$x\ge -3$$.

   По графику функций $$y=|x+1|$$ и $$y=\sqrt{x+3}$$ получаем решения: $$x=-2$$ и $$x=1$$.

Построение графиков функций

1. а) $$y=(x-3)(x+1)=x^2-2x-3$$

   Это парабола, ветви направлены вверх. Ось симметрии:

   $$x=\frac{-(-2)}{2\cdot 1}=1$$

   Вершина:

   $$y(1)=1^2-2\cdot 1-3=-4$$

   Значит, вершина параболы — $$(1;-4)$$.

2. б) $$y=-3x(x-2)=-3x^2+6x$$

   Парабола направлена вниз. Ось симметрии:

   $$x=\frac{-6}{2\cdot(-3)}=1$$

   Вершина:

   $$y(1)=-3\cdot 1^2+6\cdot 1=3$$

   Вершина параболы — $$(1;3)$$.

3. в) $$y=-(x+2)^2-2x+2=-x^2-6x-2$$

   Парабола направлена вниз. Ось симметрии:

   $$x=\frac{-(-6)}{2\cdot(-1)}=-3$$

   Вершина:

   $$y(-3)=-(-3)^2-6\cdot(-3)-2=7$$

   Вершина параболы — $$(-3;7)$$.

4. г) $$y=(4-x)(x-8)=-x^2+12x-32$$

   Парабола направлена вниз. Ось симметрии:

   $$x=\frac{-12}{2\cdot(-1)}=6$$

   Вершина:

   $$y(6)=-6^2+12\cdot 6-32=4$$

   Вершина параболы — $$(6;4)$$.

5. д) $$y=4x(x+2)=4x^2+8x$$

   Парабола направлена вверх. Ось симметрии:

   $$x=\frac{-8}{2\cdot 4}=-1$$

   Вершина:

   $$y(-1)=4\cdot(-1)^2+8\cdot(-1)=-4$$

   Вершина параболы — $$(-1;-4)$$.

6. е) $$y=8x-(x+3)^2=8x-x^2-6x-9=-x^2+2x-9$$

   Парабола направлена вниз. Ось симметрии:

   $$x=\frac{-2}{2\cdot(-1)}=1$$

   Вершина:

   $$y(1)=-1^2+2\cdot 1-9=-8$$

   Вершина параболы — $$(1;-8)$$.

Ответ

Уравнения: а) $$x=-2,\,1$$; б) $$x=-2$$; в) $$x=-1,\,2$$; г) $$x=2,\,5$$; д) $$x=6$$; е) $$x=-2,\,1$$.
Графики функций: а) вершина $$(1;-4)$$; б) $$(1;3)$$; в) $$(-3;7)$$; г) $$(6;4)$$; д) $$(-1;-4)$$; е) $$(1;-8)$$.