Упр.29.10 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции $$y=v(x+4)$$. Найдите: а) значения $$y$$ при $$x=-4; 0; 5$$; б) значения $$x$$, при которых $$y=0; 1; 3$$; в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $$[-3;0]$$; г) значения аргумента, удовлетворяющие условию $$0
2. Постройте график функции: а) $$y=x^2+4x-3$$; г) $$y=x^2-4x+5$$; б) $$y=-x^2+6x-4$$; д) $$y=-x^2-8x+11$$; в) $$y=2x^2-4x+7$$; е) $$y=-\frac{1}{2}x^2-6x-13$$.

Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{x+4}.$$ Это график функции $$y=\sqrt{x}$$, сдвинутый вдоль оси $$Ox$$ на 4 единицы влево.

а) Найдём значения функции:

$$x=-4 \Rightarrow y=\sqrt{-4+4}=0,$$
$$x=0 \Rightarrow y=\sqrt{0+4}=2,$$
$$x=5 \Rightarrow y=\sqrt{5+4}=3.$$

б) Найдём значения аргумента:

$$y=0 \Rightarrow \sqrt{x+4}=0 \Rightarrow x=-4,$$
$$y=1 \Rightarrow \sqrt{x+4}=1 \Rightarrow x=-3,$$
$$y=3 \Rightarrow \sqrt{x+4}=3 \Rightarrow x=5.$$

в) На отрезке $$[-3;0]$$ функция возрастает, значит:

$$y_{\min}=f(-3)=\sqrt{1}=1,$$
$$y_{\max}=f(0)=\sqrt{4}=2.$$

г) Решим неравенство:

$$0<y<3,$$
$$0<\sqrt{x+4}<3.$$

Так как корень неотрицателен, получаем:

$$0<x+4<9,$$
$$-4<x<5.$$

Для построения графика удобно отметить точки $$(-4;0),\,(-3;1),\,(0;2),\,(5;3)$$ и провести через них плавную возрастающую кривую.

Для функций вида $$y=ax^2+bx+c$$ находим вершину параболы и строим по нескольким точкам.

а) $$y=x^2+4x-3$$

$$x_0=-\frac{4}{2\cdot 1}=-2,$$
$$y_0=f(-2)=(-2)^2+4\cdot(-2)-3=4-8-3=-7.$$

Вершина: $$(-2;-7)$$. Ветви направлены вверх.

б) $$y=-x^2+6x-4$$

$$x_0=-\frac{6}{2\cdot(-1)}=3,$$
$$y_0=f(3)=-3^2+6\cdot 3-4=-9+18-4=5.$$

Вершина: $$(3;5)$$ . Ветви направлены вниз.

в) $$y=2x^2-4x+7$$

$$x_0=-\frac{-4}{2\cdot 2}=1,$$
$$y_0=f(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1+7=5.$$

Вершина: $$(1;5)$$ . Ветви направлены вверх.

г) $$y=x^2-4x+5$$

$$x_0=-\frac{-4}{2\cdot 1}=2,$$
$$y_0=f(2)=2^2-4\cdot 2+5=1.$$

Вершина: $$(2;1)$$ . Ветви направлены вверх.

д) $$y=-x^2-8x+11$$

$$x_0=-\frac{-8}{2\cdot(-1)}=-4,$$
$$y_0=f(-4)=-(-4)^2-8\cdot(-4)+11=-16+32+11=27.$$

Вершина: $$(-4;27)$$. Ветви направлены вниз.

е) $$y=-\frac12 x^2-6x-13$$

$$x_0=-\frac{-6}{2\cdot\left(-\frac12\right)}=-6,$$
$$y_0=f(-6)=-\frac12\cdot(-6)^2-6\cdot(-6)-13=-18+36-13=5.$$

Вершина: $$(-6;5)$$. Ветви направлены вниз.

Ответ

а) $$y(-4)=0,\; y(0)=2,\; y(5)=3.$$
б) $$x=-4,\; x=-3,\; x=5.$$
в) $$y_{\min}=1,\; y_{\max}=2.$$
г) $$-4<x<5.$$

Вершины парабол:
а) $$(-2;-7)$$; б) $$(3;5)$$; в) $$(1;5)$$; г) $$(2;1)$$; д) $$(-4;27)$$; е) $$(-6;5)$$.