Упр.29.10 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. $$\frac{2x-7}{x-4}-\frac{x+2}{x+1}=\frac{x+6}{(x-4)(x+1)}$$

   ОДЗ: $$x\neq 4,\; x\neq -1.$$

   Умножим обе части на $$(x-4)(x+1)$$:

   $$(2x-7)(x+1)-(x+2)(x-4)=x+6$$
   $$2x^2+2x-7x-7-x^2+4x-2x+8=x+6$$
   $$x^2-3x+1=x+6$$
   $$x^2-4x-5=0$$
   $$(x-5)(x+1)=0$$
   $$x=5 \text{ или } x=-1.$$

   Значение $$x=-1$$ не подходит по ОДЗ, значит $$x=5$$.

2. $$\frac{6}{(5-x)(x+1)}+\frac{x}{x+1}=\frac{3}{x-5}$$

   ОДЗ: $$x\neq 5,\; x\neq -1.$$

   Так как $$x-5=-(5-x)$$, получаем:

   $$\frac{6}{(5-x)(x+1)}+\frac{x}{x+1}=-\frac{3}{5-x}$$
   $$\frac{6+x(5-x)}{(5-x)(x+1)}=-\frac{3}{5-x}$$
   $$6+5x-x^2=-3(x+1)$$
   $$-x^2+8x+9=0$$
   $$x^2-8x-9=0$$
   $$(x-9)(x+1)=0$$
   $$x=9 \text{ или } x=-1.$$

   Значение $$x=-1$$ не подходит по ОДЗ, значит $$x=9$$.

3. $$\frac{x-1}{x+3}+\frac{28}{(x+3)(x-4)}=\frac{3x}{x-4}$$

   ОДЗ: $$x\neq -3,\; x\neq 4.$$

   Умножим обе части на $$(x+3)(x-4)$$:

   $$(x-1)(x-4)+28=3x(x+3)$$
   $$x^2-5x+4+28=3x^2+9x$$
   $$-2x^2-14x+32=0$$
   $$x^2+7x-16=0$$
   $$D=7^2-4\cdot 1\cdot(-16)=49+64=113$$
   $$x_{1,2}=\frac{-7\pm\sqrt{113}}{2}$$

   Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

4. $$\frac{2x}{x+2}-\frac{x-1}{x-3}=\frac{10}{(3-x)(x+2)}$$

   ОДЗ: $$x\neq -2,\; x\neq 3.$$

   Так как $$3-x=-(x-3)$$, то

   $$\frac{2x}{x+2}-\frac{x-1}{x-3}=-\frac{10}{(x-3)(x+2)}$$
   $$2x(x-3)-(x-1)(x+2)=-10$$
   $$2x^2-6x-x^2-x+2=-10$$
   $$x^2-7x+12=0$$
   $$(x-3)(x-4)=0$$
   $$x=3 \text{ или } x=4.$$

   Значение $$x=3$$ не подходит по ОДЗ, значит $$x=4$$.

Ответ

а) $$x=5$$;
б) $$x=9$$;
в) $$x=\frac{-7\pm\sqrt{113}}{2}$$;
г) $$x=4$$.