Упр.28.9 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

f(x) = {v(x + 4) — 1, если -4 ? x < 0; -x^2 + 1, если x ? 0}.

Подробный ответ

1) Дана функция $$f(x)=-3x^2.$$ Тогда

$$4f(x+3)=f(2x)+12$$
$$4\cdot\bigl(-3(x+3)^2\bigr)=-3(2x)^2+12$$
$$-12(x^2+6x+9)=-12x^2+12$$
$$-12x^2-72x-108=-12x^2+12$$
$$-72x=120$$
$$x=-\frac{120}{72}=-\frac{5}{3}.$$

2) Для функции

$$ f(x)= \begin{cases} \sqrt{x+4}-1, & -4\le x<0,\\ -x^2+1, & x\ge 0 \end{cases} $$

область определения: $$[-4;+\infty).$$

Найдём основные точки и свойства графика:

при $$x=-4$$: $$f(-4)=\sqrt{0}-1=-1$$, точка $$(-4;-1)$$;
при $$x=0$$: $$f(0)=1$$, точка $$ (0;1) $$;
на промежутке $$[-4;0)$$ график задаётся функцией $$y=\sqrt{x+4}-1$$ — она возрастает;
на промежутке $$[0;+\infty)$$ график задаётся параболой $$y=-x^2+1$$ — она убывает.

Нули функции:

$$\sqrt{x+4}-1=0 \Rightarrow x=-3,$$
$$-x^2+1=0 \Rightarrow x=1.$$

Значит, график пересекает ось $$Ox$$ в точках $$(-3;0)$$ и $$ (1;0) $$. На промежутке $$(-3;1)$$ функция положительна, а при $$x\in[-4;-3)\cup(1;+\infty)$$ — отрицательна.

Наибольшее значение функции равно $$1$$, наименьшего значения нет, так как при $$x\to+\infty$$ значение $$-x^2+1\to-\infty$$. Следовательно, область значений: $$(-\infty;1].$$