Упр.28.8 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
а) —1/4 х^2 > — 1; г) -1/4 х^2 ? — 4;
б) -4 < -1/4 x^2 < -1; д) -1 ? -1/4 х^2 ? -1/4;
в) -1/4 < -1/4 x^2 ? 2 1/4; е) -4 ? —1/4 х^2 < 4.
Постройте график функции у = |х - 3| - 1. Найдите:
а) наименьшее значение функции;
б) промежутки возрастания и убывания функции;
в) значения х, при которых у = 0, у > 0, у < 0;
г) область значений функции.
Рассмотрим функцию $$y=-\frac14x^2.$$ Это парабола с вершиной в точке $$\left(0,0\right)$$, ветви направлены вниз. По графику удобно находить, при каких значениях $$x$$ функция принимает нужные значения.
$$-\frac14x^2>-1$$
$$x^2<4$$
$$-2<x<2.$$
$$-4<-\frac14x^2<-1$$
$$16>x^2>4$$
$$-4<x<-2 \text{ и } 2<x<4.$$
$$-\frac14<-\frac14x^2\le 2\frac14$$
Так как $$-\frac14x^2\le 0,$$ то верхняя граница выполняется всегда. Остаётся:
$$-\frac14<-\frac14x^2$$
$$x^2<1$$
$$-1<x<1.$$
$$-\frac14x^2\le -4$$
$$x^2\ge 16$$
$$x\le -4 \text{ или } x\ge 4.$$
$$-1\le -\frac14x^2\le -\frac14$$
$$1\le x^2\le 4$$
$$-2\le x\le -1 \text{ и } 1\le x\le 2.$$
$$-4\le -\frac14x^2<4$$
Правая часть верна при любых $$x$$, а левая даёт:
$$x^2\le 16$$
$$-4\le x\le 4.$$
Построим график функции $$y=|x-3|-1.$$ Это график функции $$y=|x|,$$ сдвинутый на 3 единицы вправо и на 1 единицу вниз. Вершина графика: $$\left(3,-1\right).$$
Наименьшее значение функции равно $$-1.$$
Функция убывает на $$(-\infty;3]$$ и возрастает на $$[3;+\infty).$$
Найдём нули функции:
$$|x-3|-1=0$$
$$|x-3|=1$$
$$x=2 \text{ или } x=4.$$
Тогда $$y>0$$ при $$x<2$$ и $$x>4,$$ а $$y<0$$ при $$2<x<4.$$
Область значений функции:
$$[-1;+\infty).$$
Ответ
а) $$-2<x<2$$;
б) $$-4<x<-2$$ и $$2<x<4$$;
в) $$-1<x<1$$;
г) $$x\le -4$$ или $$x\ge 4$$;
д) $$-2\le x\le -1$$ и $$1\le x\le 2$$;
е) $$-4\le x\le 4$$;
для $$y=|x-3|-1$$: $$y_{\min}=-1,$$ убывает на $$(-\infty;3],$$ возрастает на $$[3;+\infty),$$
$$y=0$$ при $$x=2$$ и $$x=4,$$ $$y>0$$ при $$x<2$$ и $$x>4,$$ $$y<0$$ при $$2<x<4,$$ область значений $$[-1;+\infty).$$
