Упр.28.7 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) y = -2x^2 и у = 4х; г) у = -2x^2 и у = -4х;
б) у = -1/3 x^2 и у = -3; д) y = -1/2 x^2 и у = -2;
в) у = -0,2х^2 и у = х; е) у = -4х^2 и у = 4х.
Постройте график функции у = v(х + 2) — 2.
а) Найдите область определения функции.
б) Найдите область значений функции.
в) Укажите координаты точек пересечения графика с осями координат.
г) Найдите значения аргумента, при которых у > 0, у < 0.

1. а) Найдём точки пересечения графиков $$y=-2x^2$$ и $$y=4x$$:

   $$-2x^2=4x$$
   $$-2x^2-4x=0$$
   $$-2x(x+2)=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=-2.$$

   Тогда:

   при $$x=0$$: $$y=4\cdot 0=0$$;
   при $$x=-2$$: $$y=4\cdot(-2)=-8.$$

   Ответ: $$ (0;0),\ (-2;-8). $$

2. б) Для графиков $$y=-\frac13x^2$$ и $$y=-3$$:

   $$-\frac13x^2=-3$$
   $$x^2=9$$
   $$x=\pm 3.$$

   Точки пересечения:

   $$(-3;-3),\ (3;-3).$$

   Ответ: $$(-3;-3),\ (3;-3).$$

3. в) Для графиков $$y=-0{,}2x^2$$ и $$y=x$$:

   $$-0{,}2x^2=x$$
   $$0{,}2x^2+x=0$$
   $$x(0{,}2x+1)=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=-5.$$

   Тогда точки пересечения:

   $$ (0;0),\ (-5;-5). $$

   Ответ: $$(0;0),\ (-5;-5).$$

4. г) Для графиков $$y=-2x^2$$ и $$y=-4x$$:

   $$-2x^2=-4x$$
   $$2x^2-4x=0$$
   $$2x(x-2)=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=2.$$

   Точки пересечения:

   при $$x=0$$: $$y=0$$;
   при $$x=2$$: $$y=-4\cdot 2=-8.$$

   Ответ: $$(0;0),\ (2;-8).$$

5. д) Для графиков $$y=-\frac12x^2$$ и $$y=-2$$:

   $$-\frac12x^2=-2$$
   $$x^2=4$$
   $$x=\pm 2.$$

   Точки пересечения:

   $$(-2;-2),\ (2;-2).$$

   Ответ: $$(-2;-2),\ (2;-2).$$

6. е) Для графиков $$y=-4x^2$$ и $$y=4x$$:

   $$-4x^2=4x$$
   $$4x^2+4x=0$$
   $$4x(x+1)=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=-1.$$

   Точки пересечения:

   при $$x=0$$: $$y=0$$;
   при $$x=-1$$: $$y=4\cdot(-1)=-4.$$

   Ответ: $$(0;0),\ (-1;-4).$$

Построим график функции $$y=\sqrt{x+2}-2$$.

Это график функции $$y=\sqrt{x}$$, сдвинутый на 2 единицы влево и на 2 единицы вниз.

Ход решения

а) Область определения:

$$x+2\ge 0,$$
$$x\ge -2.$$

Значит, $$D(y)=[-2;+\infty).$$

б) Область значений:

Так как $$\sqrt{x+2}\ge 0,$$ то
$$y=\sqrt{x+2}-2\ge -2.$$

Следовательно, $$E(y)=[-2;+\infty).$$

в) Точки пересечения с осями координат:

С осью $$Oy$$: при $$x=0$$
$$y=\sqrt{0+2}-2=\sqrt2-2.$$
Значит, точка $$\left(0;\sqrt2-2\right).$$

С осью $$Ox$$: при $$y=0$$
$$\sqrt{x+2}-2=0,$$
$$\sqrt{x+2}=2,$$
$$x+2=4,$$
$$x=2.$$
Значит, точка $$ (2;0). $$

г) Найдём, при каких значениях $$x$$ функция положительна и отрицательна:

$$y>0 \iff \sqrt{x+2}-2>0 \iff \sqrt{x+2}>2 \iff x>2.$$

$$y<0 \iff \sqrt{x+2}-2<0 \iff \sqrt{x+2}<2 \iff -2\le x<2.$$

Ответ

$$D(y)=[-2;+\infty),\quad E(y)=[-2;+\infty).$$

Точки пересечения с осями: $$\left(0;\sqrt2-2\right)$$ и $$ (2;0). $$

$$y>0$$ при $$x>2,$$ $$y<0$$ при $$-2\le x<2.$$