Упр.28.6 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) [-3; 2]; в) (-?; 1]; д) (-?; 3];
б) [-1; +?); г) [-3,3; 2,1]; е) (-3; 3). Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
а) у = -0,2(x + 1)^2 — 1 на отрезке [—3; 1];
б) у = v(x + 2) — 3 на отрезке [-2; 2];
в) у = -|х + 1| — 3 на полуинтервале (—2; 2];
г) у = 2(х — 1)^2 + 3 на отрезке [0; 1];
д) у = -v(х — 4) + 2 на отрезке [4; 8];
е) у = |х — 1| + 3 на луче [0; +?).

1) Для функции $$y=-\frac13x^2$$ вершина параболы находится в точке $$x=0$$, и там достигается наибольшее значение $$y=0$$. Наибольшее и наименьшее значения на каждом промежутке:

• а) $$[-3;2]$$: $$y_{\max}=0,\quad y_{\min}=-\frac13\cdot(-3)^2=-3$$;
• б) $$[-1;+\infty)$$: $$y_{\max}=0,\quad y_{\min}$$ не существует;
• в) $$(-\infty;1]$$: $$y_{\max}=0,\quad y_{\min}$$ не существует;
• г) $$[-3{,}3;2{,}1]$$: $$y_{\max}=0,\quad y_{\min}=-\frac13\cdot(3{,}3)^2=-3{,}63$$;
• д) $$(-\infty;3]$$: $$y_{\max}=0,\quad y_{\min}$$ не существует;
• е) $$(-3;3)$$: $$y_{\max}=0,\quad y_{\min}$$ не существует.

2) Найдём наибольшее и наименьшее значения остальных функций.

а) $$y=-0{,}2(x+1)^2-1$$ на $$[-3;1]$$.

Парабола направлена вниз, вершина $$(-1;-1)$$, значит наибольшее значение равно $$-1$$. На концах отрезка:

$$y(-3)=-0{,}2\cdot(-2)^2-1=-0{,}8-1=-1{,}8,$$

$$y(1)=-0{,}2\cdot2^2-1=-0{,}8-1=-1{,}8.$$

Следовательно, $$y_{\max}=-1,\quad y_{\min}=-1{,}8.$$

б) $$y=\sqrt{x+2}-3$$ на $$[-2;2]$$.

Функция возрастает, поэтому:

$$y_{\min}=y(-2)=\sqrt{0}-3=-3,$$

$$y_{\max}=y(2)=\sqrt{4}-3=2-3=-1.$$

в) $$y=-|x+1|-3$$ на $$(-2;2]$$.

Функция убывает по модулю от вершины, наибольшее значение достигается при $$x=-1$$:

$$y_{\max}=-3.$$

Наименьшее значение на правом конце промежутка:

$$y_{\min}=y(2)=-|2+1|-3=-3-3=-6.$$

г) $$y=2(x-1)^2+3$$ на $$[0;1]$$.

Парабола направлена вверх, вершина $$ (1;3) $$, значит:

$$y_{\min}=3.$$

На левом конце отрезка:

$$y(0)=2(0-1)^2+3=2+3=5.$$

Следовательно, $$y_{\max}=5.$$

д) $$y=-\sqrt{x-4}+2$$ на $$[4;8]$$.

Функция убывает, поэтому:

$$y_{\max}=y(4)=-\sqrt{0}+2=2,$$

$$y_{\min}=y(8)=-\sqrt{4}+2=-2+2=0.$$

е) $$y=|x-1|+3$$ на $$[0;+\infty)$$.

Минимум достигается в точке $$x=1$$:

$$y_{\min}=3.$$

При $$x\to+\infty$$ значение функции неограниченно возрастает, поэтому наибольшего значения нет.

Ответ

1) $$y=-\frac13x^2$$: а) $$y_{\max}=0,\ y_{\min}=-3$$; б) $$y_{\max}=0,\ y_{\min}$$ не существует; в) $$y_{\max}=0,\ y_{\min}$$ не существует; г) $$y_{\max}=0,\ y_{\min}=-3{,}63$$; д) $$y_{\max}=0,\ y_{\min}$$ не существует; е) $$y_{\max}=0,\ y_{\min}$$ не существует.

2) а) $$y_{\max}=-1,\ y_{\min}=-1{,}8$$; б) $$y_{\max}=-1,\ y_{\min}=-3$$; в) $$y_{\max}=-3,\ y_{\min}=-6$$; г) $$y_{\max}=5,\ y_{\min}=3$$; д) $$y_{\max}=2,\ y_{\min}=0$$; е) $$y_{\min}=3,\ y_{\max}$$ не существует.