Упр.28.6 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=-\frac{1}{3}x^2$$ на промежутке:
а) $$[-3;2]$$;
в) $$(-\infty;1]$$;
д) $$(-\infty;3]$$;
б) $$[-1;+\infty)$$;
г) $$[-3{,}3;2{,}1]$$;
е) $$(-3;3)$$. - Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
а) $$y=-0{,}2(x+1)^2-1$$ на отрезке $$[-3;1]$$;
б) $$y=\sqrt{x+2}-3$$ на отрезке $$[-2;2]$$;
в) $$y=-|x+1|-3$$ на полуинтервале $$(-2;2]$$;
г) $$y=2(x-1)^2+3$$ на отрезке $$[0;1]$$;
д) $$y=-\sqrt{x-4}+2$$ на отрезке $$[4;8]$$;
е) $$y=|x-1|+3$$ на луче $$[0;+\infty)$$.
1) Для функции $$y=-\frac13x^2$$ вершина параболы находится в точке $$x=0$$, и там достигается наибольшее значение $$y=0$$. Наибольшее и наименьшее значения на каждом промежутке:
- а) $$[-3;2]$$: $$y_{\max}=0,\quad y_{\min}=-\frac13\cdot(-3)^2=-3$$;
- б) $$[-1;+\infty)$$: $$y_{\max}=0,\quad y_{\min}$$ не существует;
- в) $$(-\infty;1]$$: $$y_{\max}=0,\quad y_{\min}$$ не существует;
- г) $$[-3{,}3;2{,}1]$$: $$y_{\max}=0,\quad y_{\min}=-\frac13\cdot(3{,}3)^2=-3{,}63$$;
- д) $$(-\infty;3]$$: $$y_{\max}=0,\quad y_{\min}$$ не существует;
- е) $$(-3;3)$$: $$y_{\max}=0,\quad y_{\min}$$ не существует.
2) Найдём наибольшее и наименьшее значения остальных функций.
а) $$y=-0{,}2(x+1)^2-1$$ на $$[-3;1]$$.
Парабола направлена вниз, вершина $$(-1;-1)$$, значит наибольшее значение равно $$-1$$. На концах отрезка:
$$y(-3)=-0{,}2\cdot(-2)^2-1=-0{,}8-1=-1{,}8,$$
$$y(1)=-0{,}2\cdot2^2-1=-0{,}8-1=-1{,}8.$$
Следовательно, $$y_{\max}=-1,\quad y_{\min}=-1{,}8.$$
б) $$y=\sqrt{x+2}-3$$ на $$[-2;2]$$.
Функция возрастает, поэтому:
$$y_{\min}=y(-2)=\sqrt{0}-3=-3,$$
$$y_{\max}=y(2)=\sqrt{4}-3=2-3=-1.$$
в) $$y=-|x+1|-3$$ на $$(-2;2]$$.
Функция убывает по модулю от вершины, наибольшее значение достигается при $$x=-1$$:
$$y_{\max}=-3.$$
Наименьшее значение на правом конце промежутка:
$$y_{\min}=y(2)=-|2+1|-3=-3-3=-6.$$
г) $$y=2(x-1)^2+3$$ на $$[0;1]$$.
Парабола направлена вверх, вершина $$(1;3)$$, значит:
$$y_{\min}=3.$$
На левом конце отрезка:
$$y(0)=2(0-1)^2+3=2+3=5.$$
Следовательно, $$y_{\max}=5.$$
д) $$y=-\sqrt{x-4}+2$$ на $$[4;8]$$.
Функция убывает, поэтому:
$$y_{\max}=y(4)=-\sqrt{0}+2=2,$$
$$y_{\min}=y(8)=-\sqrt{4}+2=-2+2=0.$$
е) $$y=|x-1|+3$$ на $$[0;+\infty)$$.
Минимум достигается в точке $$x=1$$:
$$y_{\min}=3.$$
При $$x\to+\infty$$ значение функции неограниченно возрастает, поэтому наибольшего значения нет.
Ответ
1) $$y=-\frac13x^2$$: а) $$y_{\max}=0,\ y_{\min}=-3$$; б) $$y_{\max}=0,\ y_{\min}$$ не существует; в) $$y_{\max}=0,\ y_{\min}$$ не существует; г) $$y_{\max}=0,\ y_{\min}=-3{,}63$$; д) $$y_{\max}=0,\ y_{\min}$$ не существует; е) $$y_{\max}=0,\ y_{\min}$$ не существует.
2) а) $$y_{\max}=-1,\ y_{\min}=-1{,}8$$; б) $$y_{\max}=-1,\ y_{\min}=-3$$; в) $$y_{\max}=-3,\ y_{\min}=-6$$; г) $$y_{\max}=5,\ y_{\min}=3$$; д) $$y_{\max}=2,\ y_{\min}=0$$; е) $$y_{\min}=3,\ y_{\max}$$ не существует.
