Упр.28.17 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

а) y = (3x^2 — 3x^3)/(x — 1); б) y = (-1/3 x^3 + 2/3 x^2)/(x — 2). Сколько целых чисел содержится в решении системы неравенств:
{(3x + 1)/3 — (5x + 2)/6 ? (x — 3)/12; x/2 + x/3 — x/4 + x/5 ? 47/120}?

Подробный ответ

а) Упростим выражение:

$$ y=\frac{3x^2-3x^3}{x-1}=\frac{3x^2(1-x)}{x-1}=\frac{-3x^2(x-1)}{x-1}=-3x^2,\quad x\ne 1. $$

График функции — парабола $$y=-3x^2$$ с выколотой точкой при $$x=1$$, то есть точка $$\left(1,-3\right)$$ не принадлежит графику.

Прямая $$y=p$$ имеет с графиком ровно одну общую точку в двух случаях:

если она касается параболы в вершине: $$p=0$$;
если проходит через выколотую точку, тогда на параболе остаётся только одна общая точка: $$p=-3$$.

б) Упростим выражение:

$$ y=\frac{-\frac13x^3+\frac23x^2}{x-2} =\frac{-\frac13x^2(x-2)}{x-2} =-\frac13x^2,\quad x\ne 2. $$

График функции — парабола $$y=-\frac13x^2$$ с выколотой точкой $$\left(2,-\frac43\right)$$.

Прямая $$y=p$$ имеет с графиком ровно одну общую точку, если:

$$p=0$$ — касание в вершине;
$$p=-\frac43$$ — прямая проходит через выколотую точку, и остаётся одна общая точка.

Система неравенств

$$ \begin{cases} \frac{3x+1}{3}-\frac{5x+2}{6}\ge \frac{x-3}{12},\\[4pt] \frac{x}{2}+\frac{x}{3}-\frac{x}{4}+\frac{x}{5}\le \frac{47}{120}. \end{cases} $$

Решим первое неравенство:

$$ \frac{3x+1}{3}-\frac{5x+2}{6}\ge \frac{x-3}{12} $$

$$ \frac{4(3x+1)-2(5x+2)}{12}\ge \frac{x-3}{12} $$

$$ 12x+4-10x-4\ge x-3 $$

$$ 2x\ge x-3 $$

$$ x\ge -3. $$

Решим второе неравенство:

$$ \frac{x}{2}+\frac{x}{3}-\frac{x}{4}+\frac{x}{5}\le \frac{47}{120} $$

$$ \frac{60x+40x-30x+24x}{120}\le \frac{47}{120} $$

$$ 94x\le 47 $$

$$ x\le \frac{47}{94}=\frac12. $$

Тогда