Упр.28.15 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

f(x) = {-1/2 x — 7, если -5 ? x < -2; -1,5x^2, если -2 ? x < 2; x - 8, если 2 ? x ? 6}. С помощью графика определите, при каких значениях параметра р уравнение f(x) = р имеет: а) один корень; г) три корня; б) не более одного корня; д) два корня; в) четыре корня; е) не более двух корней. Найдите приближённые значения заданного числа по недостатку и по избытку с точностью до 0,01: а) ? - v3; в) v17 - ?; б) v11 - v3; г) v21 - v11.

Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} -\dfrac12x-7, & -5\le x<-2,\\ -1{,}5x^2, & -2\le x<2,\\ x-8, & 2\le x\le 6. \end{cases} $$

Найдём характерные точки каждого участка:

для $$y=-\dfrac12x-7$$ при $$x=-5$$ и $$x=-2$$ получаем
$$y=-4{,}5,\quad y=-6;$$

для $$y=-1{,}5x^2$$ при $$x=-2,\,0,\,2$$ получаем
$$y=-6,\quad y=0,\quad y=-6;$$

для $$y=x-8$$ при $$x=2$$ и $$x=6$$ получаем
$$y=-6,\quad y=-2.$$

По этим точкам строим график: отрезок прямой, затем ветвь параболы и снова отрезок прямой.

Теперь рассмотрим, сколько точек пересечения имеет график с прямой $$y=p$$.

• Если $$p=0$$, прямая касается графика только в точке $$x=0$$, значит корень один.
• Если $$p<-6$$, пересечений нет; если $$p\ge 0$$, пересечение только одно.
• При $$-6<p\le -4{,}5$$ горизонтальная прямая пересекает график в четырёх точках.
• При $$-4{,}5<p\le -2$$ пересечений три.
• При $$-6\le p<0$$ и $$p\ne -4{,}5$$ возможны два пересечения; в частности, при $$p=-6$$ и $$p=-2$$ получается по два корня.

Следовательно:

• один корень — при $$p=0$$;
• не более одного корня — при $$p<-6$$ и $$p\ge 0$$;
• четыре корня — при $$-6<p\le -4{,}5$$;
• три корня — при $$-4{,}5<p\le -2$$;
• два корня — при $$p=-6$$ и $$-2<p<0$$;
• не более двух корней — при $$p\le -6$$ и $$p\ge -2$$.

Найдём приближённые значения чисел по недостатку и по избытку с точностью до $$0{,}01$$:

$$ \pi-\sqrt3\approx 3{,}1415-1{,}7321=1{,}4094 $$

$$ \pi-\sqrt3\approx 1{,}40 \text{ — по недостатку},\qquad 1{,}41 \text{ — по избытку}. $$

$$ \sqrt{11}-\sqrt3\approx 3{,}3166-1{,}7321=1{,}5845 $$

$$ \sqrt{11}-\sqrt3\approx 1{,}58 \text{ — по недостатку},\qquad 1{,}59 \text{ — по избытку}. $$

$$ \sqrt{17}-\pi\approx 4{,}1231-3{,}1415=0{,}9816 $$

$$ \sqrt{17}-\pi\approx 0{,}98 \text{ — по недостатку},\qquad 0{,}99 \text{ — по избытку}. $$

$$ \sqrt{21}-\sqrt{11}\approx 4{,}5825-3{,}3166=1{,}2659 $$

$$ \sqrt{21}-\sqrt{11}\approx 1{,}26 \text{ — по недостатку},\qquad 1{,}27 \text{ — по избытку}. $$

Ответ

а) $$p=0$$;
б) $$p<-6$$ и $$p\ge 0$$;
в) $$-6<p\le -4{,}5$$;
г) $$-4{,}5<p\le -2$$;
д) $$p=-6$$ и $$-2<p<0$$;
е) $$p\le -6$$ и $$p\ge -2$$.

$$ \pi-\sqrt3\approx 1{,}40;\ 1{,}41,\quad \sqrt{11}-\sqrt3\approx 1{,}58;\ 1{,}59,\quad \sqrt{17}-\pi\approx 0{,}98;\ 0{,}99,\quad \sqrt{21}-\sqrt{11}\approx 1{,}26;\ 1{,}27. $$