Упр.28.14 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

f(x) = {-0,5x^2, если -4 ? x < 0; vx, если 0 ? x ? 9}. а) Найдите f(-3), f(0), f(9), f(10). б) Постройте график функции у = f(x). в) Найдите значения х, при которых f(х) = 2, f(х) = 0, f(х) = —2. г) Перечислите свойства функции. Решите уравнение: а) |х - v5| = v5; в) |x - v7| = 2v7; б) |х - v3| = 1 - v3; г) |x - v7| = v7 - 3.

Дана функция

$$ f(x)= \begin{cases} -0{,}5x^2, & -4 \le x < 0,\\ \sqrt{x}, & 0 \le x \le 9. \end{cases} $$

а) Найдём значения функции:

$$ f(-3)=-0{,}5\cdot(-3)^2=-0{,}5\cdot 9=-4{,}5; $$

$$ f(0)=\sqrt{0}=0; $$

$$ f(9)=\sqrt{9}=3; $$

$$ f(10)\ \text{не существует, так как }10\notin [-4;9]. $$

б) Построим график функции.

На промежутке $$-4 \le x < 0$$ график задаётся формулой $$y=-0{,}5x^2$$. Для построения можно взять точки:

$$ (-4;-8),\quad (-2;-2),\quad (0;0). $$

На промежутке $$0 \le x \le 9$$ график задаётся формулой $$y=\sqrt{x}$$. Для построения можно взять точки:

$$ (0;0),\quad (1;1),\quad (4;2),\quad (9;3). $$

График состоит из двух частей: ветви параболы на $$[-4;0)$$ и графика функции $$y=\sqrt{x}$$ на $$[0;9]$$.

в) Найдём, при каких $$x$$ выполняются равенства:

$$ f(x)=2 \Rightarrow \sqrt{x}=2 \Rightarrow x=4; $$

$$ f(x)=0 \Rightarrow \sqrt{x}=0 \Rightarrow x=0; $$

$$ f(x)=-2 \Rightarrow -0{,}5x^2=-2 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2. $$

Но на участке $$-4 \le x < 0$$ подходит только $$x=-2$$.

г) Свойства функции:

• область определения: $$[-4;9]$$;
• область значений: $$[-8;3]$$;
• $$f(x)<0$$ при $$-4 \le x < 0$$;
• $$f(0)=0$$;
• $$f(x)>0$$ при $$0<x\le 9$$;
• функция возрастает на всей области определения;
• наименьшее значение: $$-8$$ при $$x=-4$$;
• наибольшее значение: $$3$$ при $$x=9$$;
• функция непрерывна на своей области определения.

Решим уравнения с модулем.

а) $$|x-\sqrt{5}|=\sqrt{5}$$

$$ x-\sqrt{5}=\sqrt{5} \quad \text{или} \quad x-\sqrt{5}=-\sqrt{5}. $$

$$ x=2\sqrt{5} \quad \text{или} \quad x=0. $$

б) $$|x-\sqrt{3}|=1-\sqrt{3}$$

Так как $$1-\sqrt{3}<0$$, то уравнение не имеет корней.

в) $$|x-\sqrt{7}|=2\sqrt{7}$$

$$ x-\sqrt{7}=2\sqrt{7} \quad \text{или} \quad x-\sqrt{7}=-2\sqrt{7}. $$

$$ x=3\sqrt{7} \quad \text{или} \quad x=-\sqrt{7}. $$

г) $$|x-\sqrt{7}|=\sqrt{7}-3$$

Так как $$\sqrt{7}-3<0$$, то уравнение не имеет корней.

Ответ

а) $$f(-3)=-4{,}5,\ f(0)=0,\ f(9)=3,\ f(10)$$ не существует.

в) $$f(x)=2$$ при $$x=4$$; $$f(x)=0$$ при $$x=0$$; $$f(x)=-2$$ при $$x=-2$$.

г) $$D(f)=[-4;9]$$, $$E(f)=[-8;3]$$; функция возрастает на $$[-4;9]$$, непрерывна на своей области определения, $$f(x)<0$$ при $$-4 \le x <0$$, $$f(0)=0$$, $$f(x)>0$$ при $$0<x\le 9$$.

Уравнения: а) $$x=0$$, $$x=2\sqrt{5}$$; б) корней нет; в) $$x=-\sqrt{7}$$, $$x=3\sqrt{7}$$; г) корней нет.