Упр.28.11 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

Решите графически систему уравнений:
а) $$\begin{cases} y=-0{,}5x^2,\\ y=-1{,}5x; \end{cases}$$
б) $$\begin{cases} y=x+3,\\ y=-3x^2; \end{cases}$$
в) $$\begin{cases} y=-|x|,\\ y=-\frac{1}{4}x^2; \end{cases}$$
г) $$\begin{cases} y=-|x|,\\ y=-0{,}5x^2; \end{cases}$$
д) $$\begin{cases} y=vx,\\ y=-3x^2; \end{cases}$$
е) $$\begin{cases} y=-\frac{1}{8}x^2,\\ y=-vx. \end{cases}$$
Постройте график функции $$y=f(x)$$, где
$$f(x)=\begin{cases} x+8, & \text{если } -7\leq x<-4,\\ 2(x+2)^2-4, & \text{если } -4\leq x<0,\\ (x-2)^2+2, & \text{если } 0\leq x\leq4. \end{cases}$$ Выясните, при каких значениях параметра $$p$$ уравнение $$f(x)=p$$ имеет: а) не менее трёх корней; б) более трёх корней.

Подробный ответ

а) Найдём точки пересечения графиков $$y=-0{,}5x^2$$ и $$y=-1{,}5x$$:
$$-0{,}5x^2=-1{,}5x$$
$$-0{,}5x^2+1{,}5x=0$$
$$-0{,}5x(x-3)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=3$$
Тогда
$$x=0 \Rightarrow y=0,$$
$$x=3 \Rightarrow y=-4{,}5.$$
Ответ: $$(0;0)$$ и $$(3;-4{,}5).$$
б) Решим систему $$\begin{cases} y=x+3, \\ y=-3x^2. \end{cases}$$
Приравняем правые части:
$$x+3=-3x^2$$
$$3x^2+x+3=0.$$
Дискриминант:
$$D=1-36=-35<0.$$
Действительных корней нет, значит, графики не пересекаются.
Ответ: $$\varnothing.$$
в) Решим систему $$\begin{cases} y=-|x|, \\ y=-\frac14x^2. \end{cases}$$
Приравняем:
$$-|x|=-\frac14x^2$$
$$|x|=\frac14x^2.$$
Пусть $$t=|x| \ge 0,$$ тогда $$t=\frac14t^2,$$ откуда
$$t\left(\frac14t-1\right)=0.$$
$$t=0 \text{ или } t=4.$$
Значит, $$|x|=0 \Rightarrow x=0,$$ и $$|x|=4 \Rightarrow x=\pm 4.$$
Точки пересечения:
$$(0;0),\ (-4;-4),\ (4;-4).$$
г) Решим систему $$\begin{cases} y=-|x|, \\ y=-0{,}5x^2. \end{cases}$$
Приравняем:
$$-|x|=-0{,}5x^2$$
$$|x|=0{,}5x^2.$$
Пусть $$t=|x| \ge 0,$$ тогда $$t=0{,}5t^2,$$ откуда
$$t(0{,}5t-1)=0.$$
$$t=0 \text{ или } t=2.$$
Следовательно, $$x=0$$ или $$x=\pm 2.$$
Точки пересечения:
$$(0;0),\ (-2;-2),\ (2;-2).$$
д) Решим систему $$\begin{cases} y=\sqrt{x}, \\ y=-3x^2. \end{cases}$$
Так как $$\sqrt{x}\ge 0,$$ а $$-3x^2\le 0,$$ то равенство возможно только при
$$y=0.$$
Тогда $$\sqrt{x}=0 \Rightarrow x=0.$$
Ответ: $$(0;0).$$
е) Решим систему $$\begin{cases} y=-\frac18x^2, \\ y=-\sqrt{x}. \end{cases}$$
Область определения второго уравнения: $$x\ge 0.$$
Приравняем:
$$-\frac18x^2=-\sqrt{x}$$
$$\frac18x^2=\sqrt{x}.$$
Пусть $$t=\sqrt{x}, \quad t\ge 0,$$ тогда $$x=t^2,$$ и
$$\frac18t^4=t.$$
$$t\left(\frac18t^3-1\right)=0.$$
$$t=0 \text{ или } t=2.$$
Тогда $$x=0$$ или $$x=4.$$
Точки пересечения:
$$(0;0),\ (4;-2).$$
Построение графика функции
Функция задана по частям:
$$f(x)= \begin{cases} x+8, & -7\le x<-4,\\ 2(x+2)^2-4, & -4\le x<0,\\ (x-2)^2+2, & 0\le x\le 4. \end{cases}$$
Строим по частям:
- на отрезке $$[-7,-4)$$ — отрезок прямой $$y=x+8$$;
- на отрезке $$[-4,0)$$ — ветвь параболы $$y=2(x+2)^2-4$$;
- на отрезке $$[0,4]$$ — ветвь параболы $$y=(x-2)^2+2$$.
По графику видно:
- не менее трёх корней уравнение $$f(x)=p$$ имеет при $$1\le p\le 4$$;
- более трёх корней — при $$2\le p<4.$$

Ответ

а) $$(0;0),\ (3;-4{,}5);$$
б) $$\varnothing;$$
в) $$(0;0),\ (-4;-4),\ (4;-4);$$
г) $$(0;0),\ (-2;-2),\ (2;-2);$$
д) $$(0;0);$$
е) $$(0;0),\ (4;-2);$$
$$f(x)= \begin{cases} x+8, & -7\le x<-4,\\ 2(x+2)^2-4, & -4\le x<0,\\ (x-2)^2+2, & 0\le x\le 4; \end{cases}$$
а) $$1\le p\le 4;$$
б) $$2\le p<4.$$