Упр.28.11 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
а) {у = —0,5х^2; y = -1,5x};
б) {y = x + 3; y = -3x^2};
в) {y = -|x|; y = -1/4 x^2};
г) {y = -|x|; y = -0,5x^2};
д) {y = vx; y = -3x^2};
е) {y = -1/8 x^2; y = -vx}. Постройте график функции у = f(x), где
f(x) = {x + 8, если -7 ? x < -4; 2(x + 2)^2 - 4, если -4 ? x < 0; (x - 2)^2 + 2, если 0 ? x ? 4}.
Выясните, при каких значениях параметра р уравнение f(x) = р имеет:
а) не менее трёх корней;
б) более трёх корней.
а) Найдём точки пересечения графиков $$y=-0{,}5x^2$$ и $$y=-1{,}5x$$:
$$-0{,}5x^2=-1{,}5x$$
$$-0{,}5x^2+1{,}5x=0$$
$$-0{,}5x(x-3)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=3$$
Тогда
$$x=0 \Rightarrow y=0,$$
$$x=3 \Rightarrow y=-4{,}5.$$
Ответ: $$(0;0)$$ и $$(3;-4{,}5).$$
б) Решим систему $$\begin{cases} y=x+3, \\ y=-3x^2. \end{cases}$$
Приравняем правые части:
$$x+3=-3x^2$$
$$3x^2+x+3=0.$$
Дискриминант:
$$D=1-36=-35<0.$$
Действительных корней нет, значит, графики не пересекаются.
Ответ: $$\varnothing.$$
в) Решим систему $$\begin{cases} y=-|x|, \\ y=-\frac14x^2. \end{cases}$$
Приравняем:
$$-|x|=-\frac14x^2$$
$$|x|=\frac14x^2.$$
Пусть $$t=|x| \ge 0,$$ тогда $$t=\frac14t^2,$$ откуда
$$t\left(\frac14t-1\right)=0.$$
$$t=0 \text{ или } t=4.$$
Значит, $$|x|=0 \Rightarrow x=0,$$ и $$|x|=4 \Rightarrow x=\pm 4.$$
Точки пересечения:
$$(0;0),\ (-4;-4),\ (4;-4).$$
г) Решим систему $$\begin{cases} y=-|x|, \\ y=-0{,}5x^2. \end{cases}$$
Приравняем:
$$-|x|=-0{,}5x^2$$
$$|x|=0{,}5x^2.$$
Пусть $$t=|x| \ge 0,$$ тогда $$t=0{,}5t^2,$$ откуда
$$t(0{,}5t-1)=0.$$
$$t=0 \text{ или } t=2.$$
Следовательно, $$x=0$$ или $$x=\pm 2.$$
Точки пересечения:
$$(0;0),\ (-2;-2),\ (2;-2).$$
д) Решим систему $$\begin{cases} y=\sqrt{x}, \\ y=-3x^2. \end{cases}$$
Так как $$\sqrt{x}\ge 0,$$ а $$-3x^2\le 0,$$ то равенство возможно только при
$$y=0.$$
Тогда $$\sqrt{x}=0 \Rightarrow x=0.$$
Ответ: $$(0;0).$$
е) Решим систему $$\begin{cases} y=-\frac18x^2, \\ y=-\sqrt{x}. \end{cases}$$
Область определения второго уравнения: $$x\ge 0.$$
Приравняем:
$$-\frac18x^2=-\sqrt{x}$$
$$\frac18x^2=\sqrt{x}.$$
Пусть $$t=\sqrt{x}, \quad t\ge 0,$$ тогда $$x=t^2,$$ и
$$\frac18t^4=t.$$
$$t\left(\frac18t^3-1\right)=0.$$
$$t=0 \text{ или } t=2.$$
Тогда $$x=0$$ или $$x=4.$$
Точки пересечения:
$$(0;0),\ (4;-2).$$
Построение графика функции
Функция задана по частям:
$$ f(x)= \begin{cases} x+8, & -7\le x<-4,\\ 2(x+2)^2-4, & -4\le x<0,\\ (x-2)^2+2, & 0\le x\le 4. \end{cases} $$
Строим по частям:
- на отрезке $$[-7,-4)$$ — отрезок прямой $$y=x+8$$;
- на отрезке $$[-4,0)$$ — ветвь параболы $$y=2(x+2)^2-4$$;
- на отрезке $$[0,4]$$ — ветвь параболы $$y=(x-2)^2+2$$.
По графику видно:
- не менее трёх корней уравнение $$f(x)=p$$ имеет при $$1\le p\le 4$$;
- более трёх корней — при $$2\le p<4.$$
Ответ
а) $$(0;0),\ (3;-4{,}5);$$
б) $$\varnothing;$$
в) $$(0;0),\ (-4;-4),\ (4;-4);$$
г) $$(0;0),\ (-2;-2),\ (2;-2);$$
д) $$(0;0);$$
е) $$(0;0),\ (4;-2);$$
$$f(x)= \begin{cases} x+8, & -7\le x<-4,\\ 2(x+2)^2-4, & -4\le x<0,\\ (x-2)^2+2, & 0\le x\le 4; \end{cases}$$
а) $$1\le p\le 4;$$
б) $$2\le p<4.$$
