Упр.28.10 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=-6x^2$$. Найдите:
а) $$f(0),\ f(-1),\ f\left(\frac12\right)$$;
б) $$f(a),\ f\left(-\frac12a\right),\ f(3a)$$;
в) $$f(a+1),\ f(3a^2+2)$$;
г) $$f(1),\ f(-2),\ f\left(1\frac12\right)$$;
д) $$f(2a),\ f(-2a),\ f\left(\frac12a\right)$$;
е) $$f(a-2b)-2,\ f\left(\frac12a^2+b^3\right)$$.
Дана функция $$y=f(x)$$, где
$$f(x)=\begin{cases}-3(x+3)^2+2,&\text{если }-4\leq x<-2,\\2x,&\text{если }-2\leq x\leq2.\end{cases}$$
Постройте график функции $$y=f(x)$$ и определите, при каких значениях $$p$$ уравнение $$f(x)=p$$:
а) имеет один корень;
б) имеет три корня;
в) имеет два корня;
г) не имеет корней;
д) имеет хотя бы два корня;
е) имеет не более одного корня.
Дана функция $$f(x)=-6x^2.$$ Подставим в неё указанные значения аргумента.
а)
$$f(0)=-6\cdot 0^2=0,$$
$$f(-1)=-6\cdot (-1)^2=-6,$$
$$f\left(\frac12\right)=-6\cdot \left(\frac12\right)^2=-6\cdot \frac14=-\frac32.$$
б)
$$f(a)=-6a^2,$$
$$f\left(-\frac12 a\right)=-6\cdot \left(-\frac12 a\right)^2=-6\cdot \frac14 a^2=-\frac32 a^2,$$
$$f(3a)=-6\cdot (3a)^2=-6\cdot 9a^2=-54a^2.$$
в)
$$f(a+1)=-6(a+1)^2=-6(a^2+2a+1)=-6a^2-12a-6,$$
$$f(3a^2+2)=-6(3a^2+2)^2=-6(9a^4+12a^2+4)=-54a^4-72a^2-24.$$
г)
$$f(1)=-6,$$
$$f(-2)=-6\cdot (-2)^2=-24,$$
$$f\left(1\frac12\right)=-6\cdot \left(\frac32\right)^2=-6\cdot \frac94=-\frac{27}{2}.$$
д)
$$f(2a)=-6(2a)^2=-24a^2,$$
$$f(-2a)=-6(-2a)^2=-24a^2,$$
$$f\left(\frac12 a\right)=-6\left(\frac12 a\right)^2=-\frac32 a^2.$$
е)
$$f(a-2b)-2=-6(a-2b)^2-2=-6(a^2-4ab+4b^2)-2=-6a^2+24ab-24b^2-2,$$
$$f\left(\frac12 a^2+b^3\right)=-6\left(\frac12 a^2+b^3\right)^2=-6\left(\frac14 a^4+a^2b^3+b^6\right)=-\frac32 a^4-6a^2b^3-6b^6.$$
Теперь рассмотрим функцию
$$f(x)= \begin{cases} -3(x+3)^2+2, & -4\le x<-2,\\ 2x, & -2\le x\le 2. \end{cases}$$
График состоит из двух частей: параболы $$y=-3(x+3)^2+2$$ на промежутке $$-4\le x<-2$$ и отрезка прямой $$y=2x$$ на промежутке $$-2\le x\le 2.$$
Для параболы: при $$x=-4$$ получаем $$y=-1,$$ при $$x=-3$$ — вершину $$(-3;2),$$ при $$x\to -2-$$ значение стремится к $$-1,$$ но точка $$(-2;-1)$$ не входит в график.
Для прямой: отрезок идёт от точки $$(-2;-4)$$ до точки $$(2;4).$$
По графику уравнение $$f(x)=p$$ имеет:
а) один корень при $$-4<p<-1$$ и при $$2<p\le 4;$$
б) три корня при $$-1<p<2;$$
в) два корня при $$p=-1$$ и $$p=2;$$
г) не имеет корней при $$p<-4$$ и $$p>4;$$
д) хотя бы два корня при $$-1\le p\le 2;$$
е) не более одного корня при $$p<-1$$ и $$p>2.$$
Ответ
а) $$f(0)=0,\ f(-1)=-6,\ f\left(\frac12\right)=-\frac32.$$
б) $$f(a)=-6a^2,\ f\left(-\frac12 a\right)=-\frac32 a^2,\ f(3a)=-54a^2.$$
в) $$f(a+1)=-6a^2-12a-6,\ f(3a^2+2)=-54a^4-72a^2-24.$$
г) $$f(1)=-6,\ f(-2)=-24,\ f\left(1\frac12\right)=-\frac{27}{2}.$$
д) $$f(2a)=-24a^2,\ f(-2a)=-24a^2,\ f\left(\frac12 a\right)=-\frac32 a^2.$$
е) $$f(a-2b)-2=-6a^2+24ab-24b^2-2,\quad f\left(\frac12 a^2+b^3\right)=-\frac32 a^4-6a^2b^3-6b^6.$$
Для второго задания: а) $$-4<p<-1$$ и $$2<p\le 4$$; б) $$-1<p<2$$; в) $$p=-1$$ и $$p=2$$; г) $$p<-4$$ и $$p>4$$; д) $$-1\le p\le 2$$; е) $$p<-1$$ и $$p>2$$.
